甘肃省白银市靖远县第二中学2023?2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的虚部为（????）
A． B． C． D．2
2．已知向量，满足，，，则（????）
A． B． C．5 D．4
3．在中，内角所对的边分别为，且，，则（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（????）
A． B． C． D．
5．函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（????）
A． B． C． D．
6．直三棱柱中，，，则与平面成角的正弦值为（????）
A． B． C． D．
7．数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是（????）
A． B． C． D．
8．已知正四面体的棱长为1，动点P在内（含边界），设点P到平面SAB的距离为，点P到平面SBC的距离为，点P到平面SCA的距离为.若，则的最大值是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（????）
A．若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上
B．若A，B，C为平面内任意三点，则
C．若点G为的重心，则
D．若向量，满足，且，方向相同，则
10．如图，正方体的棱长为2，则（????）
A．平面
B．平面
C．异面直线与BD所成的角为60°
D．三棱锥的体积为
11．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（????）
A． B．
C． D．方程有实数解
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，则的最小值为.
13．某三棱台的各顶点都在一个半径为6的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正三角形，则该三棱台的体积为.
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的三个内角所对的边分别为，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
16．如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的大小.
17．已知.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)已知锐角在的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求在的面积的最大值.
18．甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）.
(1)现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出的2个球的颜色相同的概率；
(2)从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率.
19．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点.
(1)若向量的“伴随函数”为，求向量；
(2)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可.
【详解】，故该复数的虚部为2.
故选D.
2．【答案】C
【分析】根据题意，求模先求平方，再开方即可得到答案.
【详解】因为，，，所以，所以.
故选C.
3．【答案】B
【分析】利用余弦定理得到，由正弦定理得到.
【详解】因为，
所以，所以.
故选B.
4．【答案】A
【详解】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为.
故选A.
5．【答案】B
【分析】先利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的对称性求出的对称轴方程即可得解.
【详解】由题得
，
令，
分别取，0，1，对应得，，，
不存在使得，故不是图象的一条对称轴.
故选B.
6．【答案】A
【分析】过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解.
【详解】如图，过作，垂足为，连接，
??
在直三棱柱中，因为，
所以平面，
故在平面上的射影为,
所以为直线与平面所成的角，
设，又，所以为等边三角形，
所以，
故
故选A.
【方法总结】求线面夹角一般有两种方法