福建省福州市闽侯县第二中学2023?2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知i是虚数单位，则的虚部为（????）
A．1 B．i C． D．
2．在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（????）
A． B． C． D．
3．在中，内角的对边分别为a,b,c，若，，则（????）
A． B． C． D．
4．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412??451??312??533??224??344??151??254??424??142
435??414??335??132??123??233??314??232??353??442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（????）
A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6
5．已知等腰中，，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
6．已知平面向量满足．若，则（????）
A．－2 B． C． D．2
7．已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
8．已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且．则的最大值为（????）
A．6 B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知、都是复数，下列选项正确的是（????）
A．若，则； B．若，则；
C．若，则； D．若，则．
10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（????）
A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
11．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（????）
A．直线与直线为异面直线
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．二面角的平面角余弦值为
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为．
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为．
14．定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为2，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数，．
(1)若，，,对应的点在第四象限求的范围．
(2)若，求的最大值．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点.
??
(1)求证：PB//平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与底面所成角的正切值.
17．在中，.
(1)求角的大小；
(2)若在边上，，且，求的面积.
18．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差．
19．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：