北京市第二中学2023?2024学年高一下学期第五学段考试数学试题
一、单选题
1．若向量，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的是
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b不在平面α内，则b∥α
3．在中，是的中点，则
A． B．
C． D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（????）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
5．在直角梯形中，，且，是的中点，则（????）
A． B．3 C．2 D．
6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（????）
A． B． C． D．
7．在中，，是的中点，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，?分别是?的中点，将三角形沿折起，则下列说法错误的是（????）
A．不论折至何位置(不在平面内)，都有平面
B．不论折至何位置(不在平面内)，都有
C．不论折至何位置(不在平面内)，都有
D．在折起过程中，一定存在某个位置，使
9．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块喝冷饮降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（????）
A． B． C． D．
10．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（????）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则.
12．已知平面和三条不同的直线m，n，l.给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥.以其中两个论断作为条件，使得成立.这两个论断可以是.（填上你认为正确的一组序号）
13．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是(只需写出一个可能的值)
14．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点．现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/h，该救援船到达D点需要h．
15．如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论：
①四边形的周长为定值；
②四边形的面积为定值；
③四边形为矩形；
④四边形的面积有最大值1．
则其中正确的结论．
16．已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.
①有5个不同的值
②若，则与无关
③若，则与无关
④若，则
三、解答题
17．已知向量，，．
（1）求函数的最小正周期，并求当时，的取值范围；
（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．在中，若，求角A的大小．
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）若，，D为BC边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①：；条件②：．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
19．如图，四边形ABCD是正方形，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
20．井冈山市茨坪镇为落实空间布局的需要，拟建设如图所示的三角形产业园区，根据规划要求，该产业园区需满足条件：．
（1）求B的大小；
（2）若在该产业园内再规划一个核心功能区（D、E是边BC上的点），且，，米，，当核心功能区的面积最小时，求的大小．
21．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中，），则称集合为集合的一个元基底．
（1）分别判断下列集合是否为集合一个二元基底，并说明理由；
①；②．
（2）若集合是集合的一个元基底，证明：；（备用公式：）
（3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．
参考答案
1．【答案】C
【详解】本题考查向量的坐标运算．
解答：选项A、．
选项B、
选项C、，正确．
选项D、因为所以两向量不平行．
2．【答案】D
【详解】由线面平行的判定定理，可以判断的真假；根据线面平行的定义及几何特征，可以判断与的真假；根据线面平行的判定定理，可以判断的真假；进