安徽省马鞍山市第二中学2023?2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，且，则（????）
A． B．4 C． D．1
3．某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（????）
A．450 B．360 C．400 D．320
4．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（????）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数记为X，则（????）
A．时，
B．时，
C．时，
D．时，
6．一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（????）
A． B． C． D．
7．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（????）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
8．太白楼，原名谪仙楼，位于安徽省马鞍山市采石矶景区，素有“明月江天贮一楼”的美誉.如图，为测量太白楼的高度MN，取与楼底端N处位于同一水平高度且共线的三点A，B，C，测得楼顶端M处的仰角分别为，且，则太白楼的高度为（????）.
??
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知事件，满足：，，则（????）.
A．若，互斥，则
B．若，互斥，则
C．若，互相独立，则
D．若，互相独立，则
10．已知正方体的棱长为1，P是棱上的动点，则（????）.
A．四棱锥的体积为定值
B．
C．的最小值为
D．AP与DC夹角的最大值为
11．某校篮球社的20个成员进行了定点投篮测试并记录得分，已知男生组10人得分的平均数和方差分别为8和4，女生组10人得分的平均数和方差分别为x和y，这20人得分的平均数和方差分别为a和b，则（????）.
A．时，
B．时，
C．，时，
D．，时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则.
13．已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为.
14．如下图，正方体中，，上底面中心为.
现将正方形EFGH绕点在原平面内逆时针旋转角，，连接，得到如下图所示的十面体：
则这个十面体的外接球的表面积是；这个十面体体积的最大值是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.
(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；
(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.
16．某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内.现将个样本数据按，，，，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到）；
(2)学校决定表彰成绩排名前的学生，学生甲的成绩是，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.
17．如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
18．如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，.
(1)证明：；
(2)当时，，求；
(3)当时，若向量，，已知，求函数的最值.
19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.
??
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)若，，记与平面所成角为，求的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据复数的除法求出复数z，可得，根据复数的几何意义可得答案.
【详解】由，得，则，
故复数在复平面上对应的点位于第一象限，
故选A.
2．【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值.
【详解】因为，故，即，
故选D.
3．【答案】B
【分析】根据分层抽样定义计算即可.
【详解】由分层抽样可得高一年级的女生人数为.
故选B.
4．【答案】C
【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案.
【详解】由正弦定理得，
其中，
所以，