【变式训练】 考点四向量法证明平行、垂直 [例3]如图1，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角.求证： (1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.图1证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz.图2∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，又∵PA∩DA＝A，PA，DA?平面PAD，∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.平行关系证明方法线线平行两直线的方向向量平行线面平行平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直面面平行两平面的法向量平行【题后反思】(1)用向量证明平行的方法垂直关系证明方法线线垂直两直线的方向向量垂直线面垂直直线的方向向量与平面的法向量平行面面垂直两个平面的法向量垂直(2)用向量证明垂直的方法【变式训练】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点.(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由. (1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设|AB|＝a，则A(0，⊙用空间向量解决有关位置关系的探索性问题[例4]如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；BCEF？若存在，求出(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面的值；若不存在，请说明理由.【题后反思】解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.【高分训练】(1)求证：平面BCG⊥平面PAC；(2)在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论.(1)证明：∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PB，又AB⊥BC，AB∩BP＝B，∴BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥PA.又∵AB＝PB＝2，△PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点，∴BG⊥PA，又BG∩BC＝B，∴PA⊥平面BCG，又∵PA?平面PAC，∴平面BCG⊥平面PAC.第六讲空间坐标系与空间向量1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量1.空间向量的有关概念2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).项目向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果