基于“问题链”设计的习题课题型探究
摘要本文从两道三角函数试题出发，从多角度探究基于问题链的习题课的设计思路，并给出具体应用.
关键词问题链；习题课设计;教学探究
习题研究是高中数学学习的一种重要载体，习题研究的深与浅体现了数学的理解程度，更加反应了解决数学问题的能力以及对数学问题的本质理解程度.习题的解决不应就题论题，而应立足一道题的解决，掌握一类题的解决方法，更应当从解决这道题的过程中学会发现问题和提出问题，形成习题研究的经验.习题课以解决习题为主要内容，通过对习题的解决，夯实学生的“四基”，发展“四能”.习题课是否有价值关键看对习题的解决程度如何，因此，如何有效地设计好习题的研究路径是习题课成功与否的关键.那么，如何有效地设计好习题的研究路径呢？“问题链”就是一种可行的有效的具体方案.
1.问题链的内涵与特征
“问题链”是对问题的一种聚焦式的深化理解，围绕主干问题，层层递进，有序地进行问题的设计，旨在引导学生触及问题的本质，领悟数学思想在解决问题中的作用，获得一类问题的解决方法或者加深对一类问题的本质理解.“问题链”表现出目标指向的综合性与高阶性、问题设置的真实性与适切性、问题使用的灵活性与深刻性.
2.问题链的设计路径
习题的研究是多维度的，习题课的目的也是多方面的.探究问题不同解法的“问题链”设计应当立足于问题的理解，以数学基本思想为指导，从条件与问题的结构上寻求多角度的切入点.通过不断地引导，形成多种解决问题的方法.揭示问题的本质的“问题链”设计应当立足于基本问题，寻求问题中变与不变，抓住形成结论的关键因素，围绕原问题进行一系列的变式，运用横向和纵向类比方法，将具体问题拓展到一般情形.
2.1探究问题的不同解法
例1已知ΔABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.若C=2π3，求B.
理解题意条件cosA1+sinA=sin2B1+cos2B是关于角A和B的三角方程，又已知C=2π3，根据三角形的内角和定理，可得A+B=π3.从理论上，两个方程两个未知数足以求解出角A与B.
方程思想从解方程的角度出发，关键是如何消元的问题？
问题1对条件cosA1+sinA=sin2B1+cos2B及A+B=π3，应当如何消元？
解法1由二倍角公式sin2B=2sinBcosB，cos2B=2cos2B－1，代入化简得cosA1+sinA=sinBcosB，所以cos（A+B）=sinB，又A+B+C=π，C=2π3，有sinB=cos（π－C）=cosπ3=12，则B=π6.
解法1立足于目标，以方程思想为指导，运用二倍角公式首先化简cosA1+sinA=sinBcosB，然后去分母后结合和差公式与三角形内角和定理求得答案.整个过程简洁明了，一气呵成.
解法2由条件可得cosAcos2B－sinAsin2B=sin2B－cosA，则cos（A+2B）=sin2B－cosA.因为A+B+C=π，C=2π3，则cos（π3+B）+cos（π3－B）=sin2B，则cosB=2sinBcosB，故B=π6.
解法2同样以方程思想为指导，首先去分母，然后结合和差公式与三角形内角和定理化简方程，整个解答也属情理之中.
解法3由解法1可得cosA1+sinA=sinBcosB，则cos2A2－sin2A2（cosA2+sinA2）2=tanB，则cosA2－sinA2cosA2+sinA2=tanB，也即1－tanA21+tanA2=tanB，则tanπ4－tanA2tanπ4+tanA2=tan（π4－A2）=tanB.因为C=2π3，所以A，B∈（0，π3），且π4－A2∈（π12，π4），故B=π6.
解法3在解法1的基础之上，综合运用齐次化思想以及三角恒等变换公式，曲折反复，过程较繁琐，基本功不扎实的短时间内很难完成.
结构思想从条件结构的角度出发，关键是如何使等号两边的结构相同？
问题2考查条件cosA1+sinA=sin2B1+cos2B中等号两边的结构，是否可以调整为相同的结构？
解法4由条件得sin（π2－A）1+cos（π2－A）=sin2B1+cos2B.构造函数f（t）=sint1+cost=tant2，则f（t）在（0，π）上单调递增.因为C=2π3，所以A，B∈（0，π3），π2－A∈（π6，π2），2B∈（0，π3），则π2－A=2B，从而B=π6.
解法4立足于目标，调整条件的结构，构造函数，利用函数的单调性构建角度间的方程，从而解决问题.
问题3回顾上述四种解法，它们有什么共性？它们是否是解决此类问题的通法？
探究问题的不同解法主要是基于不同的视角，给出问题的不同角度的转化形式，从而形成不同的解决方案.本案例中的四种方法都是以方程思想为指导，解法1-3都以