多思少算觅蹊径直观数形巧转化
1.问题的提出
解析几何是高中数学的重要内容，也是高考重点考察的内容.其特点是运算量大，导致计算量大的主要原因是：一是当曲线与直线进行联立时，由于二次曲线方程或直线方程形式较为复杂，涉及大量的代数运算；二是解析几何中问题常常涉及其他数学知识，如向量、距离、面积等，使得问题综合性强，计算变得繁琐.这些问题不仅考验学生的计算能力，还考验他们的逻辑思维和问题解决能力.本文以2024年新高考I卷第16题为例，作一评析.
题目（2024年新高考I卷第16题）已知A0，3和P3，32为椭圆C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0上两点.
（1）求C的率心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.
解法1（常规解法）（1）将点A0，3和P3，32代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，解得a2=12，b2=9，则e=12.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x=3，此时PB=3，A到PB的距离为3，此时S△ABP=12×3×3=92≠9，故不满足题意，所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线l方程为y－32=kx－3，联立方程y=kx－3+32，
x212+y29=1，消去y得4k2+3x2－24k2－12kx+36k2－36k－27=0.设Bx0，y0，由韦达定理得3x0=36k2－36k－274k2+3，则x0=12k2－12k－94k2+3，代入y=kx－3+32得y0=－12k2－18k4k2+3+32，因为直线AP方程为y=－12x+3，则B到AP的距离为x0+2y0－65=5512k2+48k+94k2+3+3，
从而S△ABP=12·AP·d=3412k2+48k+94k2+3+3=9，化简得4k2－8k+3=0或12k2+8k+9=0，解得k=12或32，故直线l的方程为y=12x或y=32x－3.
评析上述解法由于点P不在坐标轴上使得直线方程形式复杂，导致在直线与曲线方程联立时计算量大，运算出错点多，学生普遍反映解题易入手，难通关，出现了“烂尾楼”的现象.
2.解决问题的思路
2.1聚焦运算对象，优化运算路径
在圆锥曲线问题解决的过程中，聚焦运算对象和优化运算路径是减少计算量、提高解题效率的关键.通过聚焦运算对象，可以明确解题的目标，让学生集中精力进行必要的计算，而优化运算路径不仅是为了减少计算量，还可以探索问题的最优解，培养学生创新思维，提高解决问题的能力.
（1）巧设直线方程
本题由于点P不在坐标轴上使得直线方程形式复杂，而通过观察发现点A在y轴上，点B也落在直线AB上，因此可以通过设直线AB方程进行求解，达到简化运算的目的.
解法2（简化部分展示）当直线AB的斜率不存在时，B0，－3，则AB=6，P到AB的距离为3，S△ABP=12×6×3=9，满足题意，此时直线l的方程为y+3=32x，即3x－2y－6=0.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+3，联立方程y=kx+3，
x212+y29=1，，消去y得4k2+3x2+24kx=0，解得x=0或－24k4k2+3，所以B－24k4k2+3，9－12k24k2+3.
（2）巧设参数方程
由于椭圆方程是二次方程，直接消参比较麻烦，如果可以借助椭圆的参数方程来设点B，可以减少参数，简化运算.
解法3AP=（0－3）2+（3－32）2=352，因为kAP=32－33－0=－12，则直线AP方程为y=－12x+3，即x+2y－6=0.
设B到直线AP的距离为h，则S△ABP=12·AP·h=12×352h=9，∴h=1255.
设点B（23cosθ，3sinθ），θ∈［0，2π），则h=23cosθ+6sinθ－65=1255，化简得sinθ+π6=－32或sinθ+π6=332（舍去），则θ=7π6或θ=3π2.
当θ=3π2时，B（0，－3），此时直线l的方程为3x－2y－6=0.当θ=7π6时，B（－3，－32），此时直线l的方程为x－2y=0.
综上所述，直线l的方程为3x－2y－6=0或x－2y=0.
2.2直观条件特征，转化运算对象
“解几”的本质是“几何”，教师要引导学生直观出数形特征，挖掘出图形的几何性质，利用图形描述分析问题，由图形特征确定合理的解题路径，建立形与数的联系.
（1）几何条件转化
在解决直线与二次曲线的问题时，要善于捕捉曲线的几何特性，灵活应用对称性、平行性等平面几何性质将问题进行转化，避免繁琐的计算.本题B到直线AP距离为1255，则B落在与直线AP平行的直线上.
解法4如图1，设过B与直线AP平行的直线m：x+2y+c=0.图1
B到直线AP的距离为c－（－6）5=1255，解得c=6或－18.
当c=6时，联