§5-2简并情况下的微扰理论
知识点
教学目标
简并情况下的定态微扰理论
一级斯塔克效应
会计算简并情况下能量的一级近似。
明白外电场中氢原子能级分裂的原因。
本节内容
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
非简并微扰论特点
受微扰作用后，体系的能级和本征函数有微小的变化
能级的简并与体系的对称性密切相关。当引入微扰以后，体系的对称性受到破坏，有可能使能级发生分裂，简并会被全部或部分消除。
简并微扰论特点
实际问题中，非简并的例子很少，多数情况下能级简并。
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
则
二级
零级
逐级近似方程：
一级
……
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
一般情况下，的存在会引起本征态之间的耦合。
其解应是各的线性叠加，即
对本征值方程
无微扰
引入微扰
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
代入一级等式，得
对零级近似，令
做运算，得
左边第一项
与右边第一项相同，相消。
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
令，是微扰哈密顿在简并子空间中的矩阵元。
考虑到，上式简化为
矩阵形式
这是关于的线性齐次方程组，它有非零解的条件为
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
由此可解得f个实根。
能量的一级修正值为，一级近似值为
将每个代入到方程组，可得一组。
对应的零级近似波函数为
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
若各不相同，无重根，简并完全消除，一个能级对应一个零级波函数。
若有部分重根，简并部分消除，进一步考虑能量的二级修正，才可能消除简并情况。
其中
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
1913年，把原子置于外电场中，它发射的光谱线会发生分裂。
一级（或线性）斯塔克效应：对氢原子，能级裂距正比于电场强度的一次方。
斯塔克效应
二级（或平方）斯塔克效应：对碱金属原子，能级裂距正比于电场强度的平方。
氢原子的一级斯塔克效应
把氢原子置于沿z轴正方向的外电场中，则
原子内部的电场强度
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
因为
所以，不再是守恒量，但仍是守恒量，即外电场破坏了库仑场的球对称性，但未破坏绕z轴的旋转对称性，能级简并部分解除。
一般外电场强度，可看作微扰。
讨论氢原子光谱的赖曼线系的第一条谱线（n=2）的分裂
该能级4度简并，4个简并的正交归一波函数分别为
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
球谐函数满足递推公式（参看曾谨严《量子力学（卷1）》附录四）
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
在子空间中的矩阵元
矩阵元不为零的原则
不为零的矩阵元只有
得
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
所以
求解方程
当，即时
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
下面计算零级波函数。
相应的归一化零级近似波函数为
当，即时
不能同时为零
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
当，即时
这是二重简并的能级，波函数不能唯一确定。
若仍取原来波函数，则
1简并情况下能量的一级近似
2氢原子的一级斯塔克效应
讨论
在外电场作用下，一级微扰消除了部分简并，原来四度简并的能级分裂成三个能级，原来从跃迁到的一条谱线变成了三条谱线。
A