§2-9线性谐振子知识点教学目标线性谐振子的能级线性谐振子能量本征函数记住线性谐振子能级公式和概率分布规律。对比量子谐振子与经典谐振子能量取值和概率分布的差别。牢记线性谐振子波函数递推公式。
本节内容1引例2线性谐振子本征问题3讨论
1引例2线性谐振子本征问题3讨论线性谐振子是物理学中常见且有用的模型。举例稳定平衡点附近的微振动都是简谐振动双原子分子的振动晶体结构中原子和离子的振动核振动辐射场是线性谐振子的集合双原子分子中两原子间的势能是两原子间距离的函数，其形状如图所示。
即1引例2线性谐振子本征问题3讨论把势能函数在稳定平衡点做展开令令忽略高阶无穷小
1引例2线性谐振子本征问题3讨论能量本征方程通过量纲分析，简化方程量纲分析：和的量纲是一致的，两边同乘以，可以使方程变成无量纲的形式简化方程：令，则方程变为
1引例2线性谐振子本征问题3讨论求解方程渐进解：令，则一般解：有限性要求将代入方程，得厄密方程
求解厄密方程1引例2线性谐振子本征问题3讨论在稳定平衡点附近利用级数方法求解厄密方程（参阅曾谨严《量子力学教程》附录A3）有限级数必须有限项线性谐振子的能级
特点1引例2线性谐振子本征问题3讨论的最高次幂为n。满足递推关系（参阅梁昆淼《数学物理方法》）最高次数项系数为2n。例如厄密多项式
前几个本征函数1引例2线性谐振子本征问题3讨论线性谐振子能量本征函数归一化常数满足递推关系（利用厄密多项式递推关系）
1引例2线性谐振子本征问题3讨论能级能量量子化，且能级等间距存在零点能（基态能量、量子效应）能量本征函数波函数满足正交归一化条件波函数有确定的宇称
1引例2线性谐振子本征问题3讨论概率分布经典力学粒子从-A运动到A的过程中，在dx处的概率为概率密度：振幅：令，则它是粒子偏离平衡位置的最大距离。
1引例2线性谐振子本征问题3讨论量子力学概率密度：但随着量子数的增加，谐振子的位置概率分布将逐渐趋于经典分布。与经典力学不同。例如基态，粒子出现在x=0处概率最大，与经典相反。
1引例2线性谐振子本征问题3讨论例如基态，粒子在经典禁区出现的概率这是纯量子效应，且在基态表现得最为突出。微观粒子可以出现在经典禁区。
ABC提交8-1线性谐振子存在零点能是因为计算有误。是一种纯粹的量子效应，经典力学无法解释。可以用经典力学做出解释。单选题1分
§2-10势垒贯穿知识点教学目标势垒贯穿概念透射系数和反射系数共振透射学会计算粒子在遇到简单一维势垒时的透射系数和反射系数。知道共振透射和隧道效应的含义。比较势垒贯穿与经典理论的区别。
本节内容1问题引入2求解方程
1问题引入2求解方程散射问题问题提出体系的势能在无限远处有限（取为零）波函数在无限远处不为零体系的能量可取任意值，即组成连续谱已知势场和粒子能量，求波函数势场经典力学：EU0粒子可以越过势垒；EU0粒子被势垒反射，不能通过量子力学：？
1问题引入2求解方程薛定谔方程时的情况令，则
1问题引入2求解方程Ⅰ区：有入射波和反射波；Ⅲ区：只有透射波，无反射波，以上三式都乘以，得右行波（入射波）左行波（反射波）右行波左行波右行波（透射波）
1问题引入2求解方程波函数连续性
1问题引入2求解方程计算概率流密度矢量入射波反射波透射波
若k1=k2，即U0=0，则D=1，R=0，即不存在势垒。1问题引入2求解方程透射系数反射系数即入射粒子一部分贯穿势垒到另一区域，另一部分被势垒反射回去。这一结论正好满足粒子数守恒定律。说明方势垒的透射
1问题引入2求解方程若sink2a=0，有D=1，此时即如果入射粒子的能量刚好满足该式，粒子可以透射过去，即