§2-8方形势阱知识点教学目标势阱一维无限深势阱中粒子的能量本征值和本征函数一维方形势阱中粒子的能量本征值能量本征值和概率分布的特征学会求解一维方势阱能量本征值和本征函数的方法。对比一维势阱中粒子能量取值和经典能量取值的差别。会通过能量本征函数计算粒子的位置概率分布。
本节内容1一维无限深势阱2方形势阱
1一维无限深势阱2方形势阱一维无限深势阱（对称）能量本征方程
1一维无限深势阱2方形势阱求解方程势阱外：（刚性壁），势阱内：方程的解：有三种写法由于一维无限深势阱属于束缚定态情况，所以波函数通常不用复数形式，因此可以采用后面两种的任意一种形式。例如采用第三种写法
1一维无限深势阱2方形势阱利用波函数的标准化条件定解：连续性：能量本征值
能量本征函数1一维无限深势阱2方形势阱归一化能量本征解
1一维无限深势阱2方形势阱讨论能量本征值能量与n有关，取值量子化。这是波函数满足标准化条件的结果，与经典情况完全不同。存在最低能量这是微观粒子具有波动性（满足不确定关系）的结果相邻能级间距的相对值量子力学→经典力学能级连续
1一维无限深势阱2方形势阱能量本征函数波函数具有确定的宇称，这是由势阱具有对称性引起的。n为偶数时n为奇数时奇宇称偶宇称
1一维无限深势阱2方形势阱势阱内粒子的概率分布与经典概率分布完全不同。当n很大时，概率分布快速振荡，其平均值（测量值）变为定值，即粒子在阱内各处概率相等，这正是经典结果。
1一维无限深势阱2方形势阱正交归一性满足正交归一性是力学量本征函数的共同特征。
1一维无限深势阱2方形势阱满足驻波条件势阱的宽度正好等于德布罗意波半波长的整数倍，这正是驻波的特征。实际上例如，当n为偶数时本征函数是两列强度相同沿相反方向传播的平面波叠加形成的驻波。
1一维无限深势阱2方形势阱一维无限深势阱（非对称）势场能量本征解概率分布
1一维无限深势阱2方形势阱与自由粒子的比较无限深方势阱：能量本征值取值断续；当时，能量本征值取值逐渐连续，过渡到自由粒子。自由粒子：能量本征值取值连续。与箱中粒子的比较箱归一化：假定波函数仍为平面波，在边界上不连续，近似方法。两种方法得到的能量本征解不同。无限深方势阱：利用薛定谔方程求解，结果严格。
AB提交7-1一维无限深势阱中的粒子在不同位置出现的概率都相同。一般不同。单选题1分
1一维无限深势阱2方形势阱有限深方势阱能量本征方程
1一维无限深势阱2方形势阱令，则利用标准化条件定解
1一维无限深势阱2方形势阱有限性：连续性：在、处波函数及其一阶导数都连续
1一维无限深势阱2方形势阱注意：角度与分别处于第一、三象限和第二、四象限
1一维无限深势阱2方形势阱对称方势阱此即能量本征值满足的方程，是超越方程，没有解析解，必须进行数值求解或者图解法求解。讨论：三个特例无限深方势阱半壁无限深势阱