数学物理方程第二章热传导方程王炯华南理工大学土木与交通学院第1页
目录热传导方程及其定解问题导出初边值问题分离变量法柯西问题傅里叶变换法定解问题解唯一性与存在性解渐近性态6/5/20252第2页
第2章热传导方程 6/5/202532.1热传导方程及其定解问题导出第3页
热传导方程6/5/20254问题背景热传导方程是一个经典抛物型方程。它能够描述空间中热量传导、分子扩散等物理现象。第4页
热传导方程导出6/5/20255??第5页
热传导方程导出6/5/20256??第6页
热传导方程导出6/5/20257依据热量守恒定律，由上述两式可得?第7页
热传导方程导出6/5/20258因为时刻t1,t2及区域Ω都是任意，可得上式称为非均匀各向同性体热传导方程。?此式即为标准形式齐次热传导方程。第8页
热传导方程导出6/5/20259?基于上式，并经过类似推导可得?第9页
定解问题提法6/5/202510若已知物体在边界上温度情况（或热交换情况）和物体在初始时刻温度，就能够完全确定物体在以后时刻温度。所以，热传导方程定解问题中也需要提出初始条件与边界条件。初始条件提法??第10页
定解问题提法6/5/202511边界条件提法：第一类边界条件（狄利克雷边界条件）：设物体表面温度随时间改变是已知。此时边界条件数学形式为?第11页
定解问题提法6/5/202512边界条件提法：第二类边界条件（诺伊曼边界条件）：??第12页
定解问题提法6/5/202513边界条件提法：第三类边界条件：?此时需要应用另一热传导定律（牛顿定律）：从物体流到介质中热量和二者温度差成正比?第13页
定解问题提法6/5/202514边界条件提法：第三类边界条件：考虑流过物体表面Γ热量，从物体内部一侧来看它应由傅里叶定律确定，而从物体与介质接触面来看，它应由牛顿定律所确定，所以成立上述边界条件可深入写为其中σ为已知常数。第14页
定解问题提法6/5/202515热传导方程柯西问题：假如所考查物体体积很大，而所需知道是在较短时间和较小范围内温度改变，边界条件影响能够忽略。此时可提出热传导方程柯西问题：?第15页
低维热传导方程6/5/202516一维热传导方程：比如当物体是均匀细杆时，假如它侧面是绝缘，又温度分布在同一截面是相同，则温度函数u仅与坐标x和时间t相关，于是可得二维热传导方程：类似地，假如考虑薄片热传导，且假设薄片表面绝热，则可得第16页
扩散方程6/5/202517与热传导方程类似地方程也能够在研究分子扩散过程中（如气体扩散、液体渗透、半导体材料中杂质扩散等）得到。扩散定律与质量守恒定律?第17页
扩散方程6/5/202518经过比较可知，扩散过程中所满足物理规律与热传导过程中所满足物理规律含有非常类似形式。基于上述物理规律，并经过与热传导方程类似推导，可得以下扩散方程?第18页
第二章6/5/2025192.2初边值问题分离变量法第19页
分离变量法6/5/202520考虑下述一个空间变量热传导方程初边值问题：其中h为正常数。我们将采取分离变量法对上述初边值问题进行求解。第20页
分离变量法6/5/202521令??第21页
分离变量法6/5/202522?依据边界条件综上，需求解下述常微分方程第22页
分离变量法6/5/202523?此时方程通解能够写成为了满足边界条件，必须因为第23页
分离变量法6/5/202524?此时方程通解能够写成为了满足边界条件，必须对于情形A和情形B，方程没有分离变量形式非平凡解。第24页
分离变量法6/5/202525?此时方程通解能够写成由边界条件由边界条件?第25页
分离变量法6/5/202526???第26页
分离变量法6/5/202527由以上结果可知特征问题存在着无穷多个固有值及对应固有函数第27页
分离变量法6/5/202528??因为方程和边界条件都是齐次，故可利用叠加原理结构级数形式解?第28页
分离变量法6/5/202529????第29页
分离变量法6/5/202530?上式经过分部积分，并利用边界条件，有第30页
分离变量法6/5/202531另首先，经过计算可得?由此即得原热传导方程初边值问题形式解第31页
谢谢!6/5/202532第32页