“反证法”的一点教学困惑与释疑
刘兰梅王峰
一、问题提出
选修2-2介绍了“反证法”，此节内容在初中阶段学生也学过，故师生对反证法的证题三步骤已耳熟能详：（1）反设：即假设待证的结论不成立，也就肯定了原结论的反面；（2）归谬：把反设作为条件加到题设中去，通过一系列逻辑推理最终得到矛盾；（3）结论：由所得矛盾说明原命题成立.“反证法”的结构程式是：欲证“若P则Q”，先假设非Q成立，然后由非Q及已知条件B1B2B3…Bn，与“公理、定理、定义、公式、法则及已知条件等”之一矛盾矛盾律“若P则Q”为假排中律“若P则Q”为真.
由此看出，反证法的证题依据是根据逻辑性中的排中律与矛盾律，通过“否定命题结论的反面，从而知原命题的结论正確”，其实质上是驳倒结论的反面，从而反衬出原命题的结论正确，故称反证法属于间接证法.
在多年的教学实践中，笔者一直有个困惑，那就是在运用反证法处理问题中，从“反设（假设结论的否定正确）”出发进行推理论证，导出矛盾，此时我们就说“反设”错误，究竟为何呢？即由“矛盾”怎么就知道一定是由于“反设”造成的呢？其依据的原理是什么？有的教师认为反证法实质上是改正原问题的逆否问题，但反证法证题过程中时，从两个不同角度进行论证，出现“自相矛盾”的现象显然不是证原问题的逆否问题，故知反证法的本质是改证其逆否命题的说法不完全正确，那么由“矛盾断定反设错误”这一理论依据是什么呢？
二、问题解决
众所周知，在运用反证法处理问题时，出现的矛盾的情形概括起来无外乎三种情况：一是与数学知识或常识性知识矛盾；二是与题设条件矛盾；三是自相矛盾.事实上，由于出现矛盾的情形不同，则其由“矛盾”断定“‘假设是错误的”的原理也有所不同，要因“法”而已，下面就根据“矛盾”这三种情形诠释一下它们判断“反设错误”的依据.
（1）当所证的命题是一个“简单命题时”时，这样的命题若用反证法论证时，出现的就是与“常识性知识或题设条件”的矛盾.这种情况的逻辑基础是原命题与其逆否命题的等价性.
案例1证明2，3，5不可能成等差数列.
证明：假设2，3，5成等差数列，则23=2+5，两边平方得，12=（2+5）2，即证5=25，只要证25=40，这与25≠40矛盾，故假设错误，所以2，3，5不可能成等差数列.由此看出，此题的完整表达应该是：“若25≠40，则2，3，5不可能成等差数列”，而反证法的证明过程体现的是命题“若2，3，5成等差数列，则25=40”的证明，由于“若2，3，5成等差数列，则25=40”是假命题，根据原命题与其能否命题同真假，故知“若25≠40，则2，3，5不可能成等差数列”是真命题.
值得一提的是，当论证的命题就是一个简单命题时，其成立的前提可能是一个常识性结论，没有写出，需要我们仔细辨认，才能发现，本例中“25≠40”就是“2，3，5不可能成等差数列”成立的条件.
案例2ΔABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证Bπ/2.
证明：假设Bπ/2不成立，即B≥π/2，则B是ΔABC的最大内角，因此ba，bc（在同一个三角形中，大角对大边），从而1/a+1/c1/b+1/b=2/b，所以1/a，1/b，1/c不成等差数列，这与“a，b，c的倒数成等差数列”矛盾，故假设错误，所以Bπ/2.显然，此例反证法证的就是“ΔABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证Bπ/2.”的逆否命题.
（2）当所证明的命题是“若‘p且q，则r”时，这种形式的命题若用反证法论证时，我们常常论证命题“r且pq”或“r且qp”成立，其推理模式是逻辑学中的反三段论，反三段论的前提“如果p且q，那么r”，可以看作一个三段论，反三段论的结论是“如果p并且非r，那么非q”可以看作是把该三段论的一个前提加以否定，结论也加以否定，并且也调换它们的位置而成.反三段论不但前提蕴含结论，而且结论也蕴含前提，也就是说，前提与结论是等值的.
反三段论的形式是：如果p且q，那么r，所以如果（p并且非r），那么非q.（或如果（q并且非r），那么非p）.这个推理形式的有效性可以这样来解释：如果同时具备p，q两个条件，那么就必然出现结果r；当条件p已经具备而结果r没出现时.就可以推断另一条件q没有具备.如零点存在性定理：若函数f（x）在区间［a，b］上连续，且f（a）f（b）0，则f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点.这个定理的条件有两个：（1）函数f（x）连续；（2）f（a）f（b）0，结论是“f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点”.“假设f（x）在区间（a，b）上没有一个零点且函数f（x）在［a，b］上连续，则f（a）f（b）≥0.”或“假设f（x）在区间（a，b）上没有一个零点且f（a）f（b）0，则函数f（x）在［a，b］不连续.”
由此看出，反三段论的本质是在题设条件有两个时，即