溯其源追其本悟其道
1.试题呈现
题目（2023年全国数学新高考Ⅰ卷第19题）已知函数f（x）=aex+a－x.
（1）讨论f（x）的单调性;
2.试题溯源
（1）课本题源：（人教版选择性必修第二册P99综合运用12题）
利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）ex＞1+x，x≠0;（2）lnx＜x＜ex，x＞0.
（人教版选择性必修第二册P104拓广探索18题）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.当m≤2时，求证f（x）＞0.
（3）竞赛题源：（2019年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛）已知f（x）=ex，（1）当x≥0时，不等式x－1f（x）≥mx2－1恒成立，求m的取值范围.（2）求证：当xgt;0时，f（x）gt;4lnx+8－8ln2.
3.试题探究
第（1）问是考查函数的单调性，需要先对函数求导，再进行分类讨论：
f（x）的定义域为R，f′（x）=aex－1，当a≤0时，f′（x）lt;0，f（x）在R上单调递减；当agt;0时，令f′（x）=0，得x=－lna，所以，当x∈－∞，－lna时，f′（x）lt;0，f（x）在（－∞，－lna）上单调递减；当x∈－lna，+∞时，f′（x）gt;0，f（x）在－lna，+∞上单调递增.综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当agt;0时，f（x）在－∞，－lna上单调递减，－lna，+∞上单调递增.
第（2）问是多元变量导数不等式证明，用导数证明不等式问题一般要通过构造函数，利用函数单调性来证明，其求解可以改变不等式结构，进行恰当的放缩处理，重新构造函数证明不等式.就本题解题思路探究如下：
3.1横向探究
思路1：本题是有关证明f（x）gt;k的题型，关于x的函数，先求出f（x）的最小值.
思路2：移项构造新函数g（x），求出新函数g（x）的最小值.
评注：把函数不等式的证明转化为利用导数研究函数的最值，构造差函数的证法是函数不等式证明中最常规的方法.
思路3：局部位置放缩处理，重新构造函数证明不等式处理.
评注：利用切线不等式ex≥x+1（当且仅当x=0时取到等号）进行放缩处理.
评注：利用切线不等式lnx≤x－1（当且仅当x=1时取到等号）进行放缩处理.
评注：本解法借助同构法与两个切线不等式lnx≤x－1，ex≥x+1同时进行放缩处理，体现转化与化归思想，也体现了微积分中以直代曲，无限逼近的思想.
3.2纵向探究
研究中可尝试从多角度对本题进行改编探究.
探究一：改变参数a的位置
已知函数f（x）=eax+a－x.
（1）讨论f（x）的单调性;
探究二：改变背景函数
已知函数f（x）=alnx+a－x.
（1）讨论f（x）的单调性;
探究三：加入三角元素
已知函数f（x）=ex－a－1x+cosx－2，证明：当a≤1，xgt;0时，f（x）gt;0.
简解：f′（x）=ex－a+1－sinx≥e0－a+1－sinx=1－a+1－sinx≥0，f（x）单调递增，f（x）gt;f0=e0－a－1·0+cos0－2=0.
3.3逆向探究
受上述探究的启发，我们还可对上述题型进行逆向探究，即对导数恒成立求参数范围的一类问题进行研究，例如，
例1（2017年全国Ⅱ卷文科第21题节选）已知函数f（x）=1－x2ex.（1）略;（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围.
例2（2022年全国新高考Ⅱ卷第22题节选）已知函数f（x）=xeax－ex.（1）略;（2）当xgt;0时，f（x）lt;－1，求a的取值范围.
例3（2020年全国新高考Ⅰ卷第21题节选）已知函数f（x）=aex－1－lnx+lna.
（1）略;（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.
对导数恒成立求参数范围问题，可采用通过分离参数、数形结合、变更主元、放缩法、端点效应、必要性探路等方法进行小结和归类，并对多种方法混合运用破解以上实例.
4.感悟反思
一道好的数学试题，应立足于考查考生的关键能力和数学学科核心素养.2023年全国新高考Ⅰ卷第19题其命题立意深刻、设计新颖，具有典型性、示范性、引领性，是教学研究的良好素材.教学中要善于研究高考试题命题的背景与意图，从教材例题、习题以及往年的高考题、竞赛试题中找到原型，通过对高考试题的多角度探究，寻找试题的命制本源和解法本源，挖掘数学本质，通过改变不同的数学问题情境，并达到灵活应用，从而有效落实数学学科的核心素养培育，实现解决一道题收获一系列题的学习目的.
［1］李加军．2022年高考北京卷导数试题的背景溯源、解析和推广［J］．数学通讯，2022（24）.
［2］王波.借助导数破解含参不等式问题［J］.中学数学研究（江西师大），2020（10）.
［3］闫二路，何百惠.函数与导数问题