挖掘问题几何本质，揭秘试题命制背景
摘要本文通过极点极线以及调和点列的几何性质探究了一类圆锥曲线中的定值问题，并将其推广至一般地圆锥曲线，揭示了该题的命制背景.
关键词极点极线；调和点列；质点几何法
圆锥曲线具有非常丰富的几何性质，但在具体的求解过程中，学生们常常通过解析法进行求解，多数教师也是以解析法进行教学.在某些情况下，应用解析法进行求解时，运算量很大，且不能发现问题所蕴含的命制背景.2024年全国甲卷第20题是一道以椭圆为背景的证明问题.该题的几何背景丰富，解法多样.若仅从解析法求解，则很难发现其中的几何本质.本文通过多角度进行了探究，最终将该模型推广至一般的圆锥曲线.现将探究过程展示如下，以飨读者.
一、试题及分析
题目已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦点为F，点M（1，32）在C上，且MF⊥x轴.
（1）求C的方程；（2）如图1，过点P（4，0）的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q.求证：AQ⊥y轴.
分析本题第（1）问的答案为x24+y23=1，过程略；在第（2）问中，涉及到的点、线等几何要素较多，如何领悟其中的几何关系，选择恰当地基本量则成为解决本题的关键.其次，本题可通过同一法将原命题进行改编，然后证明其等价命题.现举例如下：
如图1，过点P（4，0）的直线交C于A，B两点，过A作y轴的垂线交直线MF于点Q，求证：直线BQ恒过定点，且该定点为线段FP的中点.
二、解法呈现
视角一选择恰当基本量，计算动点轨迹
解法1（以点为基本量求解）设直线l的方程为x=my+4，点A（x1，y1），B（x2，y2）.联立直线l与椭圆的方程得（3m2+4）y2+24my+36=0.根据韦达定理得y1+y2=－24m3m2+4，y1y2=363m2+4，从而y1+y2=－2m3y1y2.
设直线BN的方程为x=x2－52y2y+52，其与直线MF的交点Q的坐标为（1，－32y2x2－52）.
结论AQ⊥y等价于点A与点Q的纵坐标相等，即有y1=－32y2x2－52，等价于－32y2=（x2－52）y1，结合直线方程等价于－32y2=（my2+32）y1.等价于y1+y2=－2m3y1y2，与上述韦达定理所得方程相同，即可得结论成立.
评注该解法展示了两个解题技巧，（1）以“y”为主变量，设直线方程为x=my+4，在代入消元的过程中可减少运算量（一般当直线所过的定点位于x轴时采用此方式都更优）；（2）通过研究两个表达式y1y2与y1+y2间的关系，实现消元的目的，避免了韦达定理的直接代入，简化了运算过程.
解法2（以斜率为基本量求解）要证AQ⊥y轴，等价于证明直线AQ的斜率k1=0.
可尝试构造调和点列形成调和线束，利用调和线束的斜率关系进行求解.
如图2，根据条件易知点P（4，0）与直线FM：x=1是关于椭圆C的一组极点与极线.根据极点与极线的几何性质可知点P，T，B，A（注意到四点的顺序，本质上为点P，T调和分割线段AB）即为一组调和点列，直线束QP，QT，QB，QA即为一组调和线束.设其斜率分别为k4，k3，k2，k1.
又因为点N是PF的中点，得k2=2k4，其中直线QT的斜率不存在，可记为k3=∞，在后续的计算中可利用极限进行运算.
根据调和线束的斜率关系可得（k1+k2）（k3+k4）k1·k2+k3·k4=2［1］，代入条件得k1·k3－3k1·k4=－2k24，即k1=－2k24k3－3k4.根据k3的特殊性得k1=limk3→∞－2k24k3－3k4=0，由此得原问题成立.
评注该解法探讨四个斜率间的关系，发现了试题所蕴含的部分本质，极大地降低了运算量.且发现该问题仅与圆锥曲线的极点极线相关，据此可将该问题拓展至双曲线与抛物线等其他圆锥曲线，具体的拓展结论可参见后文.
视角二利用几何视角，寻找平行关系
通过上述两种证明方法以及对题干及图象的理解观察可发现，问题的本质等价于证明直线AQ//x轴.为此，可将原问题转化为证明平行关系.
解法3（构建相似三角形，发现平行关系）为了应用该方法，先证明如下结论：如图3，在ΔPFQ中，设PBBT=mn，且点N是PF的中点，则可得QBBN=2nm－n.
本文选择向量法进行证明.以QF，QP为基底，利用三点共线的性质可得QB=mm+nQT+nm+n·QP=λmm+nQF+nm+nQP，QN=12QF+12QP.
再由Q，B，N三点共线可得QB=μQN，即λmm+nQF+nm+nQP=μ2QF+μ2QP.根据平面向量的基本定理得λmm+n=μ2，
nm+n=μ2.
从而λ=nm，
μ=2nm+n，即QBBN=2nm－n成立.
接下来证明ABBP=2nm－n.根据解法2知点P，T，B，A为调和点列，则得PBPA=TBTA.结