构造二阶递推数列速解一类概率问题
于健郭建华
本文系江苏省教育科学“十四五”规划课题“自组织视域下高中数学教学模式的研究”（编号：D/2021/02/579）；江苏省教育科学“十四五”规划课题——新教材背景下的高中“数学建模与探究活动”的实践研究（D/2021/02/573）的研究成果之一.
数列中连续两项的递推关系an＋1＝qan＋p（其中p，q为常数，pq≠0，q≠1）是一种常用的数学模型．该模型在概率问题中也有着其独特的用法．
1?试题与解答
（2023年高考数学全国Ⅰ卷21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（∑ni=1Xi）＝∑ni=1qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
参考解答：（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P（B2）＝P（A1B2∪B1B2）＝P（A1B2）＋P（B1B2）＝P（A1）P（B2|A1）＋P（B1）P（B2|B1）＝0.5×（1－0.6）＋0.5×0.8＝0.6.
（2）设P（Ai）＝pi，根据题设条件易得P（Bi）＝1－pi，
所以P（Ai）＝P（Ai－1Ai∪Bi－1Ai）＝P（Ai－1Ai）＋P（Bi－1Ai）＝P（Ai－1）·P（Ai|Ai－1）＋P（Bi－1）·P（Ai|Bi－1）＝0.6pi－1＋（1－0.8）×（1－pi－1）＝0.4pi－1＋0.2，
所以pi＝0.4pi－1＋0.2.
于是，构造等比数列{pi＋λ}，设pi＋λ＝25（pi－1＋λ），解得λ＝－13，则pi－13＝25（pi－1－13），又p1＝12，p1－13＝16，
所以{pi－13}是首项为16，公比为25的等比数列，即pi－13＝16×（25）i－1，pi＝16×（25）i－1＋13.
（3）设Xi是第i次甲投篮次数，则P（Xi＝1）＝pi＝16×（25）i－1＋13，且Y＝X1＋X2＋…＋Xn，所以E（Y）＝p1＋p2＋…＋pn＝16×1-（25）n1-25＋n3＝518［1－（25）n］＋n3．
2?试题分析
概率论是课程标准中设置的重要知识，是高中数学的必备知识，是体现核心素养和关键能力的重要组成部分．试题以选择两人投篮比赛这一生活实践情境设计概率问题，充分体现了高考评价体系对德智体美劳全面发展的要求，既引导学生积极参与体育锻炼和思维训练，又注重培养学生的兴趣与爱好．本题情境又具有较强的理论背景．运用概率和数列的知识分析、解决问题的能力，突出考查综合性和应用性．试题设计了三个小问，各问之间层层递进，体现了从特殊到一般的研究思路以及提出问题、探究问题、应用问题、解决问题的解题过程．
第（1）问主要考查全概率公式．
第（2）问，找到和发现概率的递推关系是解题的关键和难点，即pi＝0.4pi－1＋0.2，再根据其形式联想到数列的递推公式，转化为数列问题求解，不妨设an＝25an－1＋15，其解法较多，比如，配凑法an－13＝25（an－1－13）；迭代法an＝25an－1＋15＝25（25ai－1＋15）＋15＝…；累加法an（25）n-an-1（25）n-1＝15×（52）n；待定系数法an＋t＝25（an－1＋t），不动点法等，其中不动点法是求an的优法，否则将带来繁琐的运算，当然，在解题的过程也可以融合多种方法，加快问题的求解．
第（3）问，理解两点分布模型是前提，判断前n次中甲投篮次数服从两点分布是关键，对题设条件E（∑ni=1Xi）＝∑ni=1qi的理解是难点．第（1）问是第（2）问的特殊化，第（3）問与第（2）问的延伸，第（2）问是该题命制的一个“亮点”．
为了更好地解决问题，可以借助“思维导图”理解图形语言、符号语言、文字语言的相互转化，探寻符号语言背后的逻辑关系，进而将复杂情形简单化，抽象问题具体化．
本题重点考查对知识的理解、迁移和应用，通过递进式设问，增强试题的开放性和探究性．不仅能让不同水平的学生选择不同解题路径提供可能，而且考查学生的理性思维、创新与探索精神，充分体现高考的改革精神，落实立德树人的根本任务．3?数列递推关系在概率问题中的应用
例1?甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n（n∈N*）次这样的操作，记