双切线双视角双拓展
函数切线问题一直是高考中比较频繁出现的一个基本考点，考查题型往往涉及切线方程的要素确定与求解、参数值的求解或取值范围的确定、切线条数的判定以及两条切线的位置关系等相关问题．本文结合一道高考题加以说明.
1．真题呈现与剖析
该题以含有绝对值的指数型函数为问题背景，以一个分段函数所对应图象的两部分分别作切线，形成“一（函数）拖二（段图象）”形式，结合过图象上两点的切线互相垂直并分别与y轴确定相应的交点，建立这两点与y轴上交点的连线，求解所确定的线段长度的比值的取值范围．本题巧妙融合函数与导数之间的相关知识，有“数”有“形”，有“动”有“静”，是一道新颖性强、融合度高的创新题．
具体破解时，可以从代数视角切入，借助代数运算与逻辑推理进行分析；也可以从几何视角切入，借助数形结合与逻辑推理进行分析．不同思维视角切入，而破解的关键就是抓住导数的几何意义，建立两切线垂直关系所对应的参数值之间的关系，进而或代数运算，或几何直观，巧妙推理，合理辨析，正确破解．
2．真题破解
评注：方法1通过参数的正负取值情况以及对应的函数解析式，分别求导，利用导数的几何意义确定相应的切线斜率，结合两切线互相垂直建立有关斜率的关系式，进而确定参数之间的关系，结合弦长公式的应用来转化相应的比值关系，结合参数的消元处理，利用变量的取值情况确定对应比值的取值范围．而方法2主要是利用函数图象的数形结合处理，通过直角三角形的相似的性质应用，以及直线的斜率定义，结合函数图象的特征来确定对应角的正切值的取值范围，即为对应比值的取值范围．
3．变式拓展
探究1通过改变函数的解析式，化指数型函数为对数型函数，以及交点所在的坐标轴，其他条件保留不变，得到新的一个变式问题．
探究2改变问题的设置角度，从同一点出发作指数函数的两条切线，进而确定相关代数式之间的关系．
变式2（2021年新高考Ⅰ卷第7题）若过点（a，b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（）.
A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea
解析：由于函数y=ex是定义域R上的增函数，导函数y′=ex＞0恒成立，设切点为（t，et），则切线方程为y=et（x－t）+et，则有b=et（a－t）+et，整理可得（t－a－1）et+b=0，构造函数f（t）=（t－a－1）et+b，求导可得f′（t）=（t－a）et，由f′（t）=0解得t=a，则知当t∈（－∞，a）时函数f（t）单调递减，当t∈（a，+∞）时函数f（t）单调递增，而由题意可知，f（t）=0有两解，所以f（t）min=f（a）=－ea+blt;0，即blt;ea；又因为当t→+∞时，f（t）→+∞，则存在x1∈（a，+∞），使得f（x1）=0，而当t→－∞时，f（t）→b，则应有bgt;0，此时存在x2∈（－∞，a），使得f（x2）=0.综上可得0lt;blt;ea，故选D．
4．教学启示
解决相应的单切线问题，主要是利用导数的几何意义，借助曲线在切点（x0，y0）处的斜率k=f′（x0）来展开，可以很好地解决一些涉及切点坐标、切线斜率、切线方程、参数值以及相关应用问题等．单切线的破解关键就是进行求导运算，并建立关系式k=f′（x0）．而解决相应的多切线问题，也是在利用导数的几何意义的基础上，借助其中一条切线方程的设置或求解，再与另一条切线建立题目条件情境的关系式，进而加以分析与应用．破解的关键就是从给定的曲线入手，建立关系，合理串联，巧妙转化．