公共边巧搭桥突破解三角形中组合四边形的最值问题
近年来，解多三角形问题经常出现在高中各级各类考试中，除了多见的“爪形”三角形相关问题外，组合四边形的面积和对角线的最值问题更为复杂，往往需要将正弦、余弦定理与三角恒等变换的知识充分结合，或结合平面几何的知识构造全等或相似三角形，将问题巧妙解决.现举几例进行说明：
1试题呈现
评注：不难发现在表示△ABC和△ADC的面积时，需要引入了一个边变量AC和一个角变量角D，此时可以巧妙地通过△ABC和△ADC的公共边AC，根据余弦定理建立了两变量之间的联系，从而达到消元的效果，最后根据三角函数的有界性使问题迅速获解.
2.试题拓展
例2如图2，在例1的基础上，连接BD，求BD的最大值.
解法一：设∠ACD=θ，BC=x，在△BCD中，BD2=BC2+CD2－2BC·CD·cos∠BCD=4+x2－
评注：该方法延续了上题的思路，即起初引入一个边变量和一个角变量，通过在两个三角形中先后使用两次余弦定理和一次正弦定理，达到消元的目的，将这两个变量转化为另一角变量，思维难度较高.
评注：本题通过构造相似三角形进行相似关系的传递，求出边BE和DE的长度，进而根据“三角形两边之和大于第三边”得到最值.
评注：上述解法是通过旋转、放缩构造相似，推广至一般情况，运用托勒密不等式，即“在凸四边形ABCD中，对角线的乘积小于等于两组对边的乘积”求解.
3.变式探究
PCD，求四边形POCD面积的最大值.
评注：和例1相同，本题也是通过公共边PC，使用余弦定理达到消元的目标求解.
例4如图5，连接OD，求OD的最大值.
评注：与例1的拓展类似，本题考虑解三角形的通性通法时，先将OD置于△OCD使用余弦定理进行表示，但在△POC中使用一次余弦定理，一次正弦定理无法到达预期效果，需要再使用一次余弦定理进行消元求解.
解法二：如图6，以OP为边作等边△OPE，连接DE，则OP=EP，∠OPC=∠EPD，PC=PD，
所以△OPC≌△EPD（SAS），得ED=OC=2.所以OD≤OE+DE=3.故OD的最大值为3.
解法三：设PC=CD=PD=x，则根据托勒密不等式OD·CP≤OP·CD+PD·OC，即OD·x≤x+2x，所以OD≤3.故OD的最大值为3.
综上探究，不难发现，对于组合四边形的最值问题，不论是面积最值，还是对角线最值，公共边都起到至关重要的作用，两类问题都可以优先表示所求量，巧妙利用公共边“搭桥”，使用正弦、余弦定理进行消元，根据三角函数的有界性解决问题.另外，对于对角线最值问题，也可以从平面几何的角度即“瓜豆原理”和“托勒密不等式”的角度将问题快速解决.