数学解题要善于发掘“特征”
在许多的数学问题中，常常显示出或隐含着某些“特征”，这些“特征”是问题的题眼，是解决问题的入手点.数学解题中善于发掘这些“特征”，既可以提高解题思路决策的敏捷性，也能使题目的解决过程得到优化，从而起到“四两拨千斤”的解题效果.本文从几个方面阐述善于发掘“特征”在数学解题中的应用.
1.数值“特征”
在数学题目中，那些具有某些“特征”的数值，会对解题起着导向作用.从这些特殊数值中展开联想，并顺藤摸瓜去寻找解题途径，则能使题目获得新颖、独创的解法.
点评：本题是“积式型”三角函数计算求值问题，根据角之间的二倍关系“特征”，可运用正弦二倍角公式求解.
2.图形“特征”
对于一些数量关系的题目，若挖掘或运用其蕴含的图形“特征”，将抽象、复杂的数量关系转换为直观的图形来求解，从图形“特征”中寻找解题途径，则思路直观、清晰.
分析：在△ABC中，由AD为∠BAC的平分线，得到∠BAD=∠CAD=30°，然后利用等积法求解.
点评：该解法根据角平分线的“特征”，运用面积相等和两边及夹角正弦的面积公式求解，思路清晰，过程十分简捷.
例4（2022年新高考Ⅰ卷15）若曲线y=（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．
分析：设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点这一位置“特征”得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不等实根，求得a的取值范围.
点评：利用“切线”求参数的范围是“切线”问题的逆向应用.本题通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，进而表示出切线方程，根据切线过原点这一“特征”，将点的坐标代入切线方程，最后利用判别式求得参数的取值范围.
3.结构“特征”
一些题目的结构往往能起到“窗口”作用，着眼于对题目结构的观察、分析并以此作为解题入手点，则能迅速寻找到解题的途径.
点评：在应用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过“拆、拼、凑”等技巧的使用（一般是配凑出“和”或者“积”为定值）构造出均值不等式的形式再进行求解.
4.差异“特征”
数学解题的过程，从一定意义上讲，就是实现从题设到结论的推证过程过渡，而识别题设与结论或量与量之间的差异“特征”，则能帮助我们寻找解题途径.
分析：由于x1为任意量，x2为存在量，从量与量的这一差异“特征”中我们可以认识到需要把题目转化方可奏效.
点评：本题根据“任意量”和“存在量”的差异关系“特征”，由此把条件不等式恒成立等价转化为函数间的最值关系，利用导数研究函数的最值及二次函数的最值求解的.