“小先生制”在高中数学课堂中的应用初探
陶行知先生倡导的“小先生制”指引人人都要将自己认识的字和学到的文化随时随地教给别人；爱德加·戴尔的金子谈学习理论认为“教别人”或者“马上应用”可以记住90%的学习内容.可见参与式学习是最有效果的.加入“小先生”的课堂，学生自幼即教人，为服务社会的实际工作，有利于培养学生的社会适应性；加入“小先生”的课堂，学生充分进行数学语言、数学思维及胆量的训练，促进学生能够大胆地将自己的见解通过语言表达出来，进而形成自己的独立见解；加入“小先生”的课堂，优化了教学环节，为学生创设一个能够充分表现自我的氛围，为每个学生个体提供更多的机遇，促进学生综合素质的全面发展，激发学生学习数学的兴趣，活跃了数学课堂.本文将结合在三个日常教学情境中实施的“小先生制”案例，谈谈如何在常规课堂中应用“小先生制”，进而达到数学教育像空气一样普遍.
一、各抒己见百思齐放
“仁者见仁，智者见智”解决数学问题时常有很多种解法，在处理一些多解法问题时可以请学生上台交流解决方法，为何选此法，能否推广一般，引导学生对比方法，教会学生从不同的角度分析问题，加深理解，发展思维，提升能力.此种情境下，会解题的学生即为小先生，他们站上讲台，表达自己的所思所想.
案例1如图1，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=5，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则EP·BP的最小值是．
师：数量积的解法我们常用的是四种：数量积公式法，投影向量定义法，平面向量基本定理转化成基底法，建系转化成代数运算（坐标）法.针对本题你有什么样的做法呢？为什么选择这个做法，能否推广到一般情形？
生1：此处有等腰梯形，可以以A点为坐标原点建立直角坐标系，转化成坐标运算.如图2，易得B（4，0），E（2，2），C（3，2），则直线BC对应的函数是一次函数y=－2x+8，于是可设P（x，－2x+8），x∈［3，4］，此时EP=（x－2，－2x+6），BP=（x－4，－2x+8），则EP·BP=5x2－34x+56=5（x－17/5）2－9/5，故当x=17/5∈［3，4］时，EP·BP最小值为－9/5.
方法推广：以后在方便建系的情况下都可以建立直角坐标系转化成坐标运算，比如有直角或者等腰条件，还有一些特殊角，比如30°，45°，60°，120°，135°，150°等也可以.重点在于要写清楚各个点的坐标，准确转化到代数运算，突破方法是提升学生的运算素养.
生2：这道题四边长都知道，也很容易算四个角，因此我想采用平面向量基本定即基底转化法，将EP用四边向量基底表示再用定义即可.
易知EP=EC+CP，cosC=－cosB=－5/5，于是EP·BP=（EC+CP）·BP=EC·BP+CP·BP=|EC||BP|cosC+|CP||BP|cosπ=－5/5|BP|－（5－|BP|）|BP|=|BP|2－65/5|BP|=（|BP|－35/5）2－9/5，所以当|BP|=35/5时，EP·BP最小值为－9/5.
方法推广：当所求向量数量积长度和夹角不明确时，可以选择其他合适的向量来表示进而完成运算，一般是题中已知向量或者已知模长和夹角的都适合做基底.重点在于准确选定基底，有时不止一对基底，且夹角也要小心不能出错，突破方法是提升学生的数据分析的素养.
生3：本题直接用定义感觉不好做，长度和夹角都在变，于是考虑作出向量EP在向量BP上的投影向量，投影一作角度不变，长度在变.具体操作：如图3，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，则向量EP在向量BP上的投影向量为FP，而在RtΔEFC中EC=1，cosC=－cosB=－5/5，则FC=EC·cos（π－C）=5/5.于是
EP·BP=FP·BP=|FP||BP|cosπ=－|BP|（65/5－|BP|）=（|BP|－35/5）2－9/5，所以当|BP|=35/5时，EP·BP最小值为－9/5.
方法推广：投影向量法是向量数量积几何意义的表达，所以能够采用投影法求数量积大小尤其是取值范围问题是非常省时省力的一个方法.重点在于理解向量数量积的本质意义，能够在具体的问题中准确找到一个向量在另一个向量上的投影向量，这对学生思维的深度是有一定要求的，需要学生多加练习，体会知识发生的过程，突破方法是提升学生的逻辑推理素养.
生4：因为EP·BP=PE·PB是共起点的两个向量求数量积，觉得可以取BE中点G然后用极化恒等式，即PE·PB=PG2－GB2，易得|GB|=2，则当|PG|最小时，EP·BP有最小值.如图4，P是线段BC上的动点，当PG⊥CB时，|PG|有最小值.易得sin∠CBA=2/5，sin∠EBA=2/2，于是sin∠PBG=sin（∠CBA－∠EBA）=10/10，从而|PG|=|GB|·sin∠PBG=5/