一道高三测试题的多角度探究与启示
摘要本文以一道落实“基础性”考查要求的单选压轴题为例，从该试题的解法、变式及结论推广等方面进行分析研究，并从中得到一些有益启示，以体现高考复习备考落实“基础性”考查要求的重要性.
关键词抛物线；多角度探究；推广
题目（深圳中学2024届高三二轮一阶测试第8题）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，若圆M与抛物线C只有一个交点，且圆M与x轴相切于点F，则圆M的半径为（）.
A.439B.79C.32D.233
1.解法探究
分析1根据题意设出圆M的方程，与y2=4x联立消去x得到关于y的方程，然后分离出圆M的半径，得到关于y的函数，根据题意可知该函数有唯一零点，该零点对应圆M与抛物线C唯一交点的纵坐标，由此转化即为函数的最小值，利用导数知识求解.
解法1设圆M的半径为r（r＞0）.
根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F（1，0），故圆M的方程为（x－1）2+（y－r）2=r2.把y2=4x，即x=y24代入圆M的方程得（y24－1）2+（y－r）2=r2，所以r=12yy24－12+y2=（y2+4）232y（y＞0），该方程关于y恰有一个解，该解对应圆M与抛物线C唯一交点的纵坐标.
令φ（t）=（t2+4）232t（t＞0），注意到limt→0+φ（t）=+，limt→+φ（t）=+，所以r=［φt］min.由于φt=（t2+4）（3t2－4）32t2，则由φt＜0，解得0＜t＜233；由φt＞0，解得t＞233，所以φ（t）在（0，233）上单调递减，在（233，+）上单调递增，从而r=［φt］min=φ233=439.故选A.
分析2将圆M与抛物线C只有一个交点等价转化为圆M与抛物线C相切，然后从函数的角度利用导数的几何意义研究抛物线C的切线，从平面几何的角度研究圆M的切线，然后利用分别得到的公切线的斜率相等建立方程，解方程得解.
解法2设圆M的半径为r（r＞0）.根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F（1，0）.故圆M的方程为（x－1）2+（y－r）2=r2.
设圆M与抛物线C的公切线为l，公切点为N（t，2t）.由y2=4x，得y=2x，所以y=1x，因此l的斜率为1t.
根据圆的几何性质得MN⊥l，所以2t－rt－1·1t=－1，整理得r=t+tt，所以圆M：（x－1）2+（y－t－tt）2=（t+tt）2.
又因为（t，2t）在圆M上，所以（t－1）2+（2t－t－tt）2=（t+tt）2，所以（t－1）2+（t－tt）2－（t+tt）2=0，所以（t－1）2+t（1－t）2－t（1+t）2=0，所以3t2+2t－1=0，解得t=13（t=－1舍去）.因此，r=13+1313=439.故选A.
分析3设出圆M与抛物线C的公切线及公共切点坐标，然后设角并利用抛物线光学性质及平面几何知识求角，从而得到公切线的斜率.再从函数的角度利用导数的几何意义表示公切线，由此建立方程，解方程得解.
解法3设圆M的半径为r（r＞0）.根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F（1，0）.故圆M的方程为（x－1）2+（y－r）2=r2.
设圆M与抛物线C的公切线为l，公共切点为N（t2，2t）（t＞0），l与x轴交点为P.如图1，连接MF，MN，MP.设∠MNF=∠MFN=θ，则根据抛物线光学性质得∠PFN=2θ.又由MF⊥x轴，可得∠MFN+∠PFN=3θ=90°，所以θ=30°.
在△NPF中，∠NPF=180°－∠PNF－∠PFN=180°－2θ－2θ=60°，所以公切线l的斜率为tan60°=3.又由y2=4x，得y=2x，所以y=1x，因此l的斜率为1t2=1t，因此1t=3，解得t=33，所以公切点N（13，233），所以l的方程为y－233=3（x－13）.令y=0，解得x=－13，从而P（－13，0），所以PF=1－－13=43.
因此，在Rt△MFP中有r=MF=PFtan∠MPF=PFtan30°=439.故选A.
分析4根据题意设出圆M的方程，设出圆M与抛物线C的公切线及公共切点坐标，然后分别利用二次曲线在某点处的切线方程的“二级结论”，分别列出圆M与抛物线C在公共切点N处的切线方程，根据两条切线方程表示同一条直线，比较对应项的系数，结合切点N的坐标满足抛物线C方程，从而列出关于切点N的坐标的方程组，解方程组由此得解.
解法4由题意可知F（1，0）.设圆M的半径为r（r＞0）.根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F，故圆M的方程为（x－1）2+（y－r）2=r2.
设圆M与抛物线C的公切线为l，公共切点为N（x0，y0）（y0＞0）.圆M在切点N的切线方程为（x0－1）（x