数学思想方法视域下高考立体几何试题评析与备考策略
摘要本文以２０２４年全国Ⅰ卷第１７题为例，以基本思想方法为起点，通过创新解法，优化学生认知结构从而建立立体几何教学需要梳理教材知识结构和思想方法脉络．
关键词立体几何；数学思想方法；高考试题；备考策略
１．问题提出
立体几何内容主要由空间几何体的结构特征、空间直线与平面的位置关系以及空间向量在立体几何中的应用组成，其逻辑顺序是由空间几何到空间基底向量再到空间向量坐标运算，是综合几何法到向量法螺旋式递进学习的过程．综合几何法经观察、探究、归纳、论证等思维方式来提升学生的识图能力、作图能力、空间想象能力以及逻辑推理能力，锻炼学生思维的灵活性和独特性，在思维发展的过程中培育直观想象等核心素养，落实立体几何独有的育人价值；向量法是几何问题代数化的过程，继承了几何法的思维方式，发展了立体几何的研究方法．两种方法各有千秋，核心素养、育人价值各有侧重，在具体教学力争做到两种方法齐头并进、优势互补．
本文对２０２４年全国新高考Ｉ卷第１７题进行解法分析，为立体几何高考复习备考厘清知识与思想方法脉络具有一定的实践意义．
２．数学思想方法统领的高考真题评析
２．１真题呈现与分析
（２０２４年全国新高考Ｉ卷第１７题）如图１，四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝ＡＣ＝２，ＢＣ＝１，ＡＢ＝根号下3.
数学教学的本质不是简单知识的传授，而是数学思想方法的理解与掌握，教材是知识的载体，知识的探究和发展酝酿了数学思想方法．因此，在教学中需要理清知识结构，提炼思想方法.
３．１理清教材内容结构，明确数学思想方法
立体几何初步的主要教学内容是点、线、面的位置关系、简单几何体的体积和表面积及公理、定理，其中线面、面面平行和垂直的判定定理和性质是教学的重点．探究定理的过程中，让学生领悟化归与转化的思想，降维与升维的逻辑论证思想．例如：证明ＡＤ／／平面ＰＢＣ，可以采用线面平行的判定定理或面面平行升维转化的思想．理清教材中几何法的内容结构、知识序列和思想方法链条，同时让学生理解空间向量解决立体几何问题的必要性，明确空间向量法与几何法的关系，不是取代，而是交融与优势互补，建立空间直角坐标系的前提是线面垂直．例如案例第一问，建系使用坐标法，进入了循环论证，并非简捷解法．同时，空间向量与平面向量是高维与低维的关系，采用类比思想学习，空间基底法和空间向量法是一般与特殊的关系，二者之间存在天然的联系．学生明确了立体几何知识的上下位关系和思想方法，在研究高考试题时，就能找到思考的方向和思维的起点．
３．２基于数学思想方法，引领高考试题研究
教学中应多角度和创造性的研究高考试题，实现一题多解到一题优解的进阶过程，培养学生思维的发散性，例如案例第一问，学生应在寻求解法的过程中，能辨别哪种方法更简洁．课程标准中提出要体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，二者的共性是考查转化与化归思想，差异是几何法重在空间想象和逻辑推理能力的培养，而向量法更注重的是数学运算能力的提升．几何法中的定理和公理是向量法中依据“三垂直”关系建立空间直角坐标系的根基，这是空间几何体与空间向量之间联系的关键，也是实现几何与代数转化的根本．正如案例中，学生应该创造性的应用几何法和向量法探究其它方法，例如直接找二面角的平面角、射影三角形面积和选择不同点视为空间直角坐标系的坐标原点，建立不同类型的空间直角坐标系求解．
３．３明确高考试题导向，引导高考复习备考
经历的教材的梳理，高考试题的研究．师生对立体几何的考点更加明确．例如，线面垂直贯穿案例解题过程的始终．在复习备考中有必要强化线面垂直的判定定理和性质定理，注重二者的区别，在问题解决过程中，满足什么条件使用判定定理和性质定理，让学生学会辨别，清除学生知识的混淆点．另外，关注学生复习备考过程中解法的多样性与复杂性．例如，案例第二问，有学生采用二面角平面角定义法或者向量基底法吗？引导学生解法的全面性和深刻性，打通学生解法的堵点．高考复习备考不仅仅是知识的再现，而是知识再探究的过程，也是思想方法的升华，不断再现教材内容结构、知识和思想方法，学生的解题能力才能走向纵深，思维品质和核心素养得以发展.