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文件名称:高观点视角下对一道高三质检试题的溯源探究.docx
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更新时间:2025-06-06
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文档摘要

高观点视角下对一道高三质检试题的溯源探究

1.试题呈现

本试题是福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测卷第19题,是一道结构紧凑,背景丰富,综合性强的新定义试题.考查不等关系式、函数与方程、利用导数研究函数性质、数列求和等相关知识,考查考生化归与转化思想、推理论证能力和运算求解能力,突出试题的区分与选拔功能.

2.解法探究

(1)由题可知,当b=1时,xgt;1,1+x1≥1+x成立;当b=2时,xgt;1,1+x2≥1+2x成立,所以M→N具有Bernoulli型关系.

(2)因为t≥0,x∈S,b∈T,且S→T具有Bernoulli型关系,所以1+xb≥1+bx成立.

构造函数f(x)=1+xb-bx-1,xgt;-1,bgt;0,则f(x)=b1+xb-1-1,下面对b分类讨论.①当b=1时,有f(x)=1+xb-bx-1=0,故1+xb≥1+bx成立;②当bgt;1时,有b-1gt;0,若-1lt;xlt;0,则1+xb-1lt;1+x0=1,从而f(x)lt;0,故f(x)在-1,0上单调递减;若xgt;0,则1+xb-1gt;1+x0=1,从而f(x)gt;0,故f(x)在0,+∞上单调递增,所以f(x)min=f0=0,于是f(x)≥f0=0,即1+xb-bx-1≥0,所以1+xb≥1+bx成立;③当0lt;blt;1时,有b-1lt;0,若-1lt;xlt;0,则1+xb-1gt;1+x0=1,从而f(x)gt;0,故f(x)在-1,0上单调递增;若xgt;0,则1+xb-1lt;1+x0=1,从而f(x)lt;0,故f(x)在0,+∞上单调递减,所以f(x)max=f0=0,于是f(x)≤f0=0,即1+xb-bx-1≤0,所以1+xb≥1+bx不恒成立.

综上所述,若S→T具有Bernoulli型关系,则有b≥1,又b∈T,t≥0,故t≥1,因此t∈1,+∞.

3.背景溯源

溯源12005版人教社A版《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5不等式选讲》第51页例3和第52页推论.

结论1Bernoulli不等式:如果x是实数,且xgt;-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有1+xngt;1+nx.

推论1当α是实数,并且满足αgt;1或者αlt;0时,有1+xα≥1+αxxgt;-1.

推论2当α是实数,并且满足0lt;αlt;1时,有1+xα≤1+αxxgt;-1.

推论31+x11+x2…1+xn≥1+x1+x2+…+xn,其中xi≥-1且xi同号,i=1,2,3,…,n.

推论3是Bernoulli不等式的推广,题目1第(2)小问实际是证明Bernoulli不等式的指数由正整数范围扩充到非负实数范围的情形,即推论1和推论2,这是第(2)小问根据Bernoulli不等式结论构造幂函数型函数f(x)进行证明的缘由.

收敛的p级数常用于求级数的上界,也就是精度的计算,而对于更高精度的计算,就需要用到放缩裂项求和法进行求解,以下结论是p级数运算中常用放缩裂项方法:

我们可以发现,题目1第(3)小问就是根据结论4进行放缩配凑求和.通常,放缩法是不惟一的,具有较大的灵活性,是技巧性较强的一种证明方法,要使学生学会放缩法证明不等式,惟一的途径是让学生多接触这类问题,熟记常用放缩方法.

4.高考应用

在历年高考试卷中也多次出现Bernoulli不等式的身影,如2006年高考江西卷理科第22题,2008年高考福建卷理科第22题,2013年高考湖北卷理科第22题等,都是以数列为载体,考查不等式放缩求和问题,我们可以利用Bernoulli不等式的相关结论,从高观点角度入手,快速解决问题.

评析:本试题第(2)小问利用Bernoulli不等式推论3,放缩为等比数列求和形式进行证明,考查化归与转化思想,技巧性强,计算量小,要求考生有扎实的数学功底,能有效提高数学学习的兴趣,激发数学学习潜能,体现课标的理念与要求,对日常教学有引导作用.

评析:本试题第(ii)小问从Bernoulli不等式角度,放缩为数列裂项求和形式进行证明,计算过程的难度降低,但技巧性增强,对考生的数学综合能力要求较高,符合课程标准的考查内容和要求,体现试题的区分和选拔功能,促进考生数学学科素养的提升.

随着高考的深入改革,新的命题风格、试卷布局、难度结构已在2024年新高考中体现,运用高等数学知识、方法、思想等“高观点”,去分析、研究高考数学问题的解题策略和方法,逐渐成为高考数学研究的趋势和风向标.“高观点”是课程改革中的一种创新,对解决初等数学问题有“拨云见日”、“画龙点睛”的独特作用.高中数学课程具有基础性、选择性和发展性,为不同学生可持续发展和终身学习创造条件,培养学生具备进入高等学校进行专业学习和终身发展所需要的必备知识、