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安徽省休宁中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试A数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．化简得（????）
A． B． C． D．
4．甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（???）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（????）
A． B． C．3 D．5
6．已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（????）
A． B． C． D．
7．下列说法不正确的是（???）
A．已知数列满足，，其前项和为，若，则
B．等差数列中，已知公差，且，则
C．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则
D．设数列的前项和为，若，且，则
8．已知函数，当时，，则的取值范围是（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（???）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为两点，直线与椭圆相交于两点，则（????）
A．椭圆的短轴长为
B．为定值
C．当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，四边形的面积为
D．直线和的斜率的乘积为
11．在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（含边界），是的中点，则（????）
A．当为的中点时，异面直线与所成的角为
B．存在点，使得平面
C．若，则点的轨迹长度为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题
12．已知等比数列的各项均为正数，且，则.
13．某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为.
14．定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
16．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.
??
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．某工厂引进两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检验，得到的数据如下表：
优质品
合格品
总计
A生产线
90
10
100
B生产线
80
20
100
总计
170
30
200
(1)依据小概率值的独立性检验，分析A，B两条智能化生产线的优质品率是否存在差异；
(2)用样本的频率估计概率，若B生产线的生产效率是A生产线的2倍，现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率；
(3)用样本的频率估计概率，若从B生产线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中优质品的件数，求X的分布列和数学期望．
附．
α
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
18．已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)证明：，．
19．设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点.
(1)若且，求直线的方程；
(2)设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点；
(3)若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
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《安徽省休宁中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试A数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
B
A
A
D
C
BCD
ABD
题号
11
答案
B