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甘肃省庆阳第一中学2025届高三第三次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，若，则（????）
A． B． C． D．
2．已知单位向量的夹角为，则向量与向量的数量积为（????）
A．-1 B．-2 C． D．
3．下列说法正确的是（????）
A．数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3
B．已知随机变量，σ越小，表示随机变量X的分布越分散
C．已知一组数据的方差为3，则的方差为3
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个点为，则实数
4．已知为虚数单位，则下列命题为真命题的是（????）
A．是实数
B．对任意的复数，为实数
C．对于任意的复数，
D．
5．已知函数，将图象上所有的点向左平移个单位长度后得到的曲线关于轴对称，则下列结论正确的是（????）
A．在上为增函数
B．
C．在上有两个零点
D．在上有无数个零点
6．已知正方体的棱长为1，若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为的四面体的概率为（????）
A． B． C． D．
7．已知表示这n个数中最大的数.下列四组数据中，能说明命题“”是假命题的有（????）组.
①1，2，3，4；②-3，-1，7，5；③8，-1，-2，-3；④5，3，0，-1.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为若，，，则（????）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2025
二、多选题
9．已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且，则下列说法正确的是（????）
A．数列的通项公式为
B．数列的通项公式为
C．
D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（????）
A．当时，曲线在点处的切线方程为
B．当时，曲线在点处的切线方程为
C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线
D．当时，曲线在点处的切线斜率为0
11．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，平面，且，分别为的中点，是线段上靠近点的四等分点，则（????）
A．平面
B．直线与所成的角为
C．
D．经过的平面截四棱锥所得的截面图形的面积为
三、填空题
12．设是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，则．
13．设点F1，F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得=m成立的点P恰好有4个，已知实数，则m的值为.
14．已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是.
四、解答题
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝.
(1)求角B的大小；
(2)①△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长度；
②△ABC的周长为4＋，求BC边上的中线AM的长度.
16．如图，在等腰直角三角形中，A，D分别为的中点，，将沿折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥.
(1)若M为的中点，求证平面；
(2)若平面平面，点E在线段上，平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长.
17．甲?乙?丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
(1)若，求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望；
(2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
18．已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围.
19．若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
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