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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三下学期三模测试（B）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（????）
A． B． C． D．
2．若向量满足，且，则的夹角为（????）
A． B． C． D．
3．1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805—1859）认为“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：自此，人们对函数的本质有了深刻的理解，设则（????）
A．1 B．0 C．-1 D．
4．已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（????）
A． B． C．2 D．
5．设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（???）
A． B． C． D．
6．已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，，，则（????）
A． B． C． D．
8．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则（???）
A．复数的模长为2
B．复数在复平面内对应的点在第二象限
C．复数是方程在复数集内的解
D．若复数满足，则
10．已知，则（????）
A． B．
C． D．
11．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，（????）
A．当时，则
B．当时，数列单调递减
C．若，且均不为1，则
D．当时，从中任取两个数至少一个为奇数的概率为
三、填空题
12．函数的最小正周期是．
13．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是．
14．已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是．
四、解答题
15．的内角的对边分别为
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
16．已知函数，
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围.
17．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.
(1)求证：.
(2)求二面角的余弦值.
(3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；
(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．
19．已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
(3)求四边形面积的取值范围.
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《河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三下学期三模测试（B）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
A
A
D
D
C
ACD
AD
题号
11
答案
AD
1．A
【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据Venn图和集合交集、补集的概念求解即可.
【详解】由，解得，
所以，
又因为，所以，图中阴影部分表示的集合为，
故选：A
2．B
【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可得出结果.
【详解】∵，.
∴，，，∴，
且，则，
故选：B.
3．B
【分析】根据为无理数得，从而有.
【详解】因为为无理数，所以，
所以.
故选：B.
4．A
【分析】不妨设双曲线方程为，根据题意可得，即，从而求出离心率.
【详解】