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湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三下学期5月练习数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（????）
A． B． C． D．
2．复数满足，其中为虚数单位，则（????）
A．2 B． C．1 D．
3．已知向量，，若，则（????）
A． B． C． D．
4．已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（????）
A． B． C．2 D．
5．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，将展开式中所有的项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为（????）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若平行四边形的面积为，则（????）
A． B．1 C． D．
7．已知函数，若两个零点，，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（????）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．设函数，则（????）
A．当在上单调递增时，
B．当时，为曲线的切线
C．点是曲线的对称中心
D．当时，的极大值点
10．某数学研究小组发现，函数的图象为双曲线，两个焦点分别为M，N，记该双曲线为，点P为上任意一点，则（????）
A．是的一条渐近线 B．点是的一个顶点
C． D．的离心率为
11．信息论中，如果知道事件A已发生，那么该事件所给出的信息量称为“自信息”，定义A的“自信息”.设随机变量X的所有可能取值为，，…，，且，，定义X的“信息熵”.现抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记Ⅰ号和Ⅱ号骰子出现的点数分别X，Y，则（????）
A．当事件“为偶数”时，
B．当事件“中至少一个为2”，“中仅一个为2”时，
C．
D．
三、填空题
12．已知为等差数列的前n项和，，则.
13．在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时，.
14．设函数，若恒成立，则的最小值为．
四、解答题
15．某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成.
(1)求回归系数；
(2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）；
(3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）：
文本真实性
检测结果
总计
识别为AI生成（篇）
识别为人类撰写（篇）
真实AI生成（篇）
真实人类撰写（篇）
总计
200
依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？
参考公式：
提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
16．如图，是圆的直径，是圆上异于的一个动点，垂直于圆所在的平面，，．
（1）求证：平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
17．设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4.
(1)求的方程；
(2)设过的另一直线交于两点，且点在直线上.
（i）证明：直线过定点；
（ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程.
18．已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的零点个数；
(3)若有两个极值点，证明：当时，.
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《湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三下学期5月练习数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
B
D
A
A
BCD
ACD
题号