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湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期高考模拟（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则的真子集的个数为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．命题：“，”的否定是（????）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，且，则（????）
A． B．
C． D．
4．记为等比数列的前项和，若，则（????）
A．81 B．71 C．61 D．51
5．建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（???）
A．7 B．8 C．12 D．13
6．已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（????）
A．43 B． C．27 D．
7．小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（????）
A． B． C． D．
8．已知，函数，若，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，以下选项正确的是（????）
A．若复数满足，则的虚部为
B．
C．若复数，，满足，则
D．若复数满足，则的最大值为6
10．若双曲线：的左，右焦点分别为，，过C的右支上一点P作圆的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（????）
A．若，则的面积为8
B．若Q为圆上的一动点，则的最小值为3
C．的最小值为
D．四边形面积的最小值为
11．在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（????）
A．若，则点的轨迹长度为
B．与所成角的最大值为
C．若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为
D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是
三、填空题
12．如图为函数的图象的一段，则.
13．已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线在第一象限与交于、两点，且为的平分线，则的值为.
14．设函数的零点为，若表示不超过的最大整数，则称为函数的“和谐整点”.现已知函数的“和谐整点”为，若，为的前项和，则.
四、解答题
15．已知等差数列的首项，等比数列的公比，且，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值；
(2)讨论的零点个数．
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．
18．已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围；
(2)若线段的中点坐标为，求直线的方程；
(3)记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
19．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．
(1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．
①求甲获胜的概率；
②求．
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《湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期高考模拟（三）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
C
C
D
B
C
ABD
ABD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】先解一元二次不等