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山东省德州市夏津一中2024-2025学年高三第三次练兵考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点为，则（???）
A． B． C． D．
2．曲线在点处的切线方程为（???）
A． B． C． D．
3．已知集合，则（???）
A． B． C． D．
4．展开式中常数项是（???）
A．20 B．15 C． D．
5．已知分别为的三个内角的对边，若，则（???）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，过点作的垂线，垂足为，若，且点在直线上，则直线的斜率为（???）
A．或 B．或 C．1或 D．或
7．若为函数的零点，则（???）
A．0 B．1 C．2 D．
8．在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的图象关于点中心对称，则（???）
A．在区间上单调递增
B．在区间上的最大值为1
C．直线是曲线的对称轴
D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方
10．有一组成对样本数据，设．由这组数据得到新成对样本数据．利用一元线性回归模型，根据最小二乘法，下列结论一定正确的是（???）附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．相关系数，决定系数（其中）．
A．两条经验回归直线都过点 B．两条经验回归直线的截距相同
C．两组数据的相关系数相同 D．两组数据的决定系数相同
11．在平面直角坐标系中，点是曲线上的动点，点坐标为，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为．定义：，则（???）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知向量，若向量与垂直，则．
13．陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是（用数字作答）．
14．已知双曲线的右焦点为，其左、右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交于两点，直线与交于点，若与的面积相等，则的离心率为．
四、解答题
15．已知数列是公差为2的等差数列，满足．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，若，求的最大值．
16．某校组织学生参观中国船政文化博物馆，并抽取20个学生进行船政文化知识竞赛，成绩如下：
53，79，76，92，63，63，65，77，66，68，
72，67，73，57，66，85，87，79，90，61．
(1)根据以上数据，求成绩的上四分位数（说明：上四分位数即第75百分位数）；
(2)在大于70分的成绩中随机抽取2个，设表示抽取的2个成绩中大于上四分位数的个数，求的分布列和数学期望．
17．如图，在三棱柱中，平面，的中点为，．
(1)证明：平面；
(2)在平面内，动点在以为圆心，为半径的劣弧上（不含端点），若直线与平面所成的角为，证明：三点共线．
18．已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为．
(1)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
(2)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，证直线过定点，并求面积的最大值．
19．已知函数，记，若满足，则称是上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数是上的“可控函数”，则函数也是上的“可控函数”，其中，例如．
(1)判断函数是否为上的“可控函数”，并说明理由；
(2)已知函数是上的“可控函数”，且的最大值为．
（i）求函数的解析式；
（ii）若数列满足，是数列的前项和．求证：．
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《山东省德州市夏津一中2024-2025学年高三第三次练兵考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
D
C
B
C
C
BD
CD
题号
11
答案
ABC
1．A
【分析】根据复数的几何意义及复数的运算求解即可.
【详解】依题意可知，
所以，
故选：A
2．D
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率与切线方程.
【详解】由已知，
则，
即切线斜率，
又，
所以切线方程为，