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上海市青浦高级中学2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合，若，则实数的值为.
2．设，i为虚数单位，若为纯虚数，则.
3．已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为．
4．设等差数列的前项和为，若，则等于
5．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为.
6．已知，直线，若，则与之间的距离为.
7．将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有种不同的放法．
8．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数（精确到0.001）．
9．已知函数满足：则不等式的解集为.
10．通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为.（结果精确到0.1%.参考数据：，，.）
11．已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为.
12．已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为.
二、单选题
13．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（????）．
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线．
15．已知数列的前项和为，若，则不可能是（????）
A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列
C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列
16．已知函数满足：．若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
三、解答题
17．在中，，.
(1)求的值；
(2)若，求的周长和面积.
18．如图，在四棱锥中，，且．
(1)证明：平面平面；
(2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小．
19．口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人从袋中摸球，每次摸1个球.
(1)若甲、乙两人无放回地摸球，由甲先摸1个球，乙再摸1个球，求甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的概率；
(2)制定规则如下：若一方摸出1个红球，则此人继续下一次摸球，若一方摸出1个白球，则由对方接替下一次摸球，由甲进行第一次摸球.
①若甲、乙两人无放回地摸球，求第三次仍由甲摸球的概率；
②若甲、乙两人每次摸球后都放回地摸球，求在前两次摸球中，甲摸得的红球次数的分布及期望.
20．已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.
(1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；
(2)若，求的值；
(3)点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.
21．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
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《上海市青浦高级中学2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
C
A
C
C
1．0
【分析】解方程即得解.
【详解】解：因为，所以（舍去）或，
所以.
故答案为：0
2．2
【分析】由复数的乘法运算与纯虚数的概念求解即可
【详解】因为为纯虚数，
所以，解得，
故答案为：2
3．
【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立，
故答案为：2
4．45
【分析】在等差数列中，利用等差数列的性质，由，解得，再利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】解：在等差数列中，
因为，
所以，解得，
所以，
故答案为：45
5．
【分析】根据二项式展开式及常数项可得，进而写出常数项即可.
【详解】由题设，二项展开式通项为，
由第四项是常数项，即时，，故，
所以常数项为.
故答案