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天津市和平区2024-2025学年高三下学期第三次质量调查数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集，集合，，（???）
A． B．
C． D．
2．命题“，”的否定是（???）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数在区间的图象大致为（???）
A． B．
C． D．
4．下列结论中不正确的是（???）
A．已知随机变量，若，则
B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好
C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30
D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点
5．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（???）
A． B． C． D．
6．已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（???）
A． B． C． D．
7．定义新运算：，已知数列满足，，则（???）
A．239 B．225 C．211 D．261
8．设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（???）
A． B． C． D．
9．定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（???）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．i是虚数单位，则．
11．若二项式的展开式中，的系数为，则．
12．已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为．
13．袋中有3个红球，m个黄球，n个绿球，现从中任取两个球，即取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则，．
14．已知实数与满足，且，则的最小值为．
15．若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时，；（ⅱ）的最小值为．
三、解答题
16．在中，角、、所对的边分别为、、，，，
(1)求角的大小；
(2)求的值与的面积；
(3)求的值．
17．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，、分别是、延长线上的点，且，．
(1)求平面与平面的夹角的正弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若．
（ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为．
(1)求椭圆离心率；
(2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长．
20．已知函数，的导函数为，函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，对于给定实数，总存在4个不同实数，，，，使得关于的方程恰有3个不同的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）记，求证：．
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《天津市和平区2024-2025学年高三下学期第三次质量调查数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
D
A
D
D
C
C
B
A
1．B
【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.
【详解】由，可得，，故，
故选：B
2．D
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】命题“，”的否定是“，”，
故选：D
3．A
【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解.
【详解】由于，
故为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD,
又，故排除B，
故选：A
4．D
【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；由决定系数的概念即可直接判断B；由分布乘法计数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D.
【详解】对于A，由二项分布的方差公式可知，
所以，所以，
所以二项分布的期望为，故A正确；
对于B，用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故B正确；
对于C，百位数字不能为0，有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位数的个数有种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有种方法，所以组成有重复数字的三位数的个数为，故C正确；
对于D，在回归分析中，回归直线一定经过样本