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天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，集合，则=（????）
A． B．
C． D．
2．若，是平面上两个非零的向量，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象大致为（????）
A． B．
C． D．
4．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的女学生人数为
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
250
A．24 B．16 C．12 D．8
5．设，，，则的大小关系为（????）
A． B． C． D．
6．已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则（????）
A． B． C． D．
7．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（????）
A． B．6 C． D．
8．已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法：
①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增；
③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象；
④方程在区间上有两个不同的实数解．
以上四个说法中，正确的个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．过曲线：()的左焦点作曲线：的切线，设切点为，延长交曲线：()于点，其中?有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（????）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．设复数（是虚数单位），则的共轭复数.
11．已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为.
12．已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为．
13．一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为．
14．已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．
15．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是．
三、解答题
16．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，．
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求的值．
17．如图所示，在三棱柱中，，，，平面平面，点是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)若点在线段上，且平面，求点到平面的距离.
18．已知，平面内动点满足直线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线交的轨迹于两点，以为邻边作平行四边形（为坐标原点），若恰为轨迹上一点，求四边形的面积.
19．已知数列的前项和，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求．
20．已知函数（，为自然对数的底数）.
(1)当时，求的极值；
(2)设函数，若在其定义域内恒成立，求实数的最小值；
(3)若关于的方程恰有两个相异的实根，，求实数的取值范围，并证明.
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《天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
A
C
D
D
C
A
B
B
1．A
【解析】由一元二不等式得到M的集合，应用集合的补运算求即可.
【详解】，又，
∴，
故选：A
2．A
【分析】由，两边平方化简可得，即，同向，可判断充分性成立，
由，可得，即，共线，可举反例，判断必要性不成立.
【详解】因