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云南省保山市昌宁县第一中学2024-2025学年高三上学期第一次全真模拟考试（尖子班）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，则（????）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（???）
A． B．1 C． D．i
3．等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（???）
A． B． C．3 D．8
4．已知函数，则函数的定义域为（????）
A． B．
C． D．
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
6．已知，为钝角，，则（????）
A．1 B． C．2 D．
7．在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（????）
A． B． C． D．
8．双曲线的左?右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（????）
A． B．
C． D．随的增大先增大后减小
10．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（????）
??
A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
11．已知圆，直线.则以下命题正确的有（）
A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为
C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
三、填空题
12．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于.
13．已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是.
14．如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有种不同的染色方案.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
16．盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求与平面所成角的正弦值.
18．已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：；
(3)当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
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《云南省保山市昌宁县第一中学2024-2025学年高三上学期第一次全真模拟考试（尖子班）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
D
A
B
C
A
CD
ACD
题号
11
答案
CD
1．A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
2．B
【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案.
【详解】因为，所以，所以的虚部为1.
故选：B
3．A
【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
又，所以，整理得，
因为，所以，
所以数列前6项的和为.
故选