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文档摘要

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一道模拟试题解法探究与背景溯源

高考数学中函数与导数试题往往具有高等数学背景，设问精巧，将一元与多元、动态与静态、参数与变量、高等数学与初等数学知识相结合等特点，有助于提升学生的辩证思维能力.本文给出了一道模拟试题解法背后隐藏的高等数学背景.

1.试题呈现

本题主要考查利用导数研究函数的单调性及满足条件不等式的证明.考查了逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.考查了函数与方程、数形结合、转化与化归的数学思想，体现了高考模拟题的基础性、综合性和创新性的考查要求.

2.解题思路

点评：上述思想方法主要是以参数a为主变量，对参数a适当放缩，从而得到不含参数的不等式，再通过构造函数证明函数的最小值大于0，从而得证.

点评：上述思想方法主要是参变量分离后构造函数，利用函数的单调性，得到含参数不等式，再将含参数不等式构造成新函数加以证明.

3.高等数学背景下的解题思路

4.高考题重现

高考题中常常出现在以ex泰勒展开式为背景的试题改编，如果我们看清楚数学问题的背景，对进一步认识问题本质、讨论解法探究提供了一定的方向.

例1（2022年全国Ⅱ卷22题）已知函数f（x）=xeax－ex.

（1）当a=1时，讨论f（x）单调性；（2）当xgt;0，f（x）lt;－1，求a的取值范围.

上述这类题目，往往涉及到一些常用不等式，

减少计算量或简化计算，但这些不等式的本质就是泰勒展开式的一部分.如果我们能把握问题本质，就能很好的看清楚问题的结构，从而能准确快速的解决问题.