聚焦应用“算两次”法解题
“算两次”是一种基本的数学方法，其思想就是把同一个量从两个不同角度计算“两次”，进而建立等量关系.单墫教授将“算两次”法的解题形式其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面…，另一方面…，综合起来可得…”.“算两次”法蕴含了化归转化和方程思想的运用，在数学问题的诸多方面都有广泛的应用.下面从几个方面举例说明“算两次”法在数学解题中的应用.
例1（2022届陕西省咸阳市二模理11）已知a∈（e，+∞），则函数f（x）=alnx+ax-xex的零点个数为（）.
A.0B.1C.2D.3
点评：利用导数研究函数的性质确定两个函数g（x）和h（x）的凸凹性，由两个函数的图象在点P（x0，y0）处有公切线时应用“算两次”法列方程求得a=e，然后当a＞e时，由h（x）的图象在公切线附近向上伸展，从而根据两函数的凸凹性确定出函数f（x）必有两零点.
例2（2023届湖北省七市州3月联考18）设数列an的前n数项和为Sn，已知a1=1，2nan-2Sn=n2-n，n∈N*.
（1）求证：数列{an}是等差数列；
点评：（2）在求解Rn的过程中，应用“算两次”法两次运用错位相减法求解的.
例3（2018年高考江苏卷13）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．
点评：利用内角平分线的性质，把一个大三角形面积和分割为两个小三角形面积之和这两个角度应用“算两次”法得到a、c的关系后，通过进行1的代换利用均值不等式求解.
例4（2020年全国Ⅲ卷理15）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．
点评：本题通过作出轴截面，把空间图形问题转化为平面图形问题，然后应用“算两次”法分别表示S△ABC后，建立等量关系求解.
点评：根据条件作出辅助线，然后应用“算两次”法求出比例式后得出为的角平分线和为的角平分线，最后结合平面几何知识推导证明的.