（北师大版）七年级上册数学《第5章一元一次方程》
5.3一元一次方程的应用（一）---等积变形问题
知识点
知识点
一元一次方程的应用
★★1、列方程解应用题的步骤：
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
★★2、等积变形问题：物体由一种形状变成了另一种形状，形状发生了变化，但是体积保持不变．
“变形之前物体的体积＝变形之后物体的体积”就是我们所要寻找的等量关系．
★★3、等长变形问题：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式，解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程．
★★4、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
题型一等积变形问题
解题技巧提炼
等积变形问题：
长方体体积=长×宽×高；
圆柱的体积=πr2h（
变形前后体积相等.
1．（2024春?射洪市校级月考）要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢（）cm．
A．12 B．16 C．24 D．32
【分析】根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，利用此相等关系列方程，求解．
【解答】解：设应截取直径4cm的圆钢xcm，
由题意得：π×42×4＝π×4?x
解得：x＝16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，列出方程，再求解．
2．（2023秋?和平区校级期末）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积是（）
A．1280cm3 B．2560cm3 C．3200cm3 D．4000cm3
【分析】设设甲的容积为xcm3，得出甲的高度为x80cm，乙的高度为x100cm，根据甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8
【解答】解：设甲的容积为xcm3，根据题意得：
x80
解得：x＝3200，
所以甲的容积为3200cm3．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根据体积不变求出高度，进而求出容积是解题的关键．
3．（2023秋?市北区校级期末）从一个底面直径为6cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面直径为4cm，高为9cm的空的圆柱形玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯水面下降的高度是．
【分析】利用体积相等列方程，求解方程即可．
【解答】解：设凉水杯水面下降的高度是xcm，根据题意，得
π（62）2x＝π×（42）
解得x＝4，
故答案为：4cm．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱的体积，解题的关键是掌握圆柱体的体积公式．
4．（2023秋?会宁县期末）有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积＝12个小杯的体积，再利用圆柱体的体积公式列方程求解．
【解答】解：设小杯的高为x，
根据题意得：π×102×30＝π×（10÷2）2?x×12
解得：x＝10
则小杯的高为10cm．
故选：C．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
5．（2023秋?九龙坡区校级期末）如图，将一个长方形剪去一个宽为4的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设该正方形的边长为x，则根据关键描述语“增加的与剪去的两个长条的面积相等”列出方程并解答即可．
【解答】解：设该正方形的边长为x，则：
4（x﹣2）＝2x．
解得x＝4．
所以2x＝8．
即这个相等的面积是8．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
6．（2023秋?平阴县期末）有一位工人师傅将底面直径是10cm，高为80cm的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40cm的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是（）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】