一道加拿大数学奥林匹克试题的多解与推广
摘要本文分析了一道2024年加拿大数学奥林匹克试题，该题主要考查如何判断一个数是否为完全平方数的问题.通过研究该数的不同质因数次数，为问题提供了多种解决方法.最后，对问题进行了推广.
关键词完全平方数;质因数;推广
1.问题呈现
定义vpn=a，a表示n中质数p的幂次，即pa整除n，但pa+1不整除n.［1］
问题1（2024年加拿大数学奥林匹克）能否将2024个正整数写在圆周上，使得相邻两数之积恰构成集合1！，2！，…，2024！？
评注如果这个问题是成立的，需要给出一个具体的构造，这个构造看似不太容易给出；如果这个问题不成立，可以通过整体的角度，因为这些数是相邻两数的乘积构成的，故整体的乘积应该是个完全平方数，即1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242，一个完全平方数的任意质数次幂应为偶数，那么1！·2！·3！…2024！所含所有质数的幂次均为偶数吗，有没有可能存在一个质数的幂次为奇数？这可以作为解决本题的一个切入点.
2解法研究
按照以上的想法，给出了以下两种解法：
解法一若正整数a1，a2，…，a2024满足要求，则1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242是完全平方数.但1009是质数，而v10091！2！3！…2024！=1·2017－1009+1+2·2024－2017=1023，是奇数，矛盾！
解法二若正整数a1，a2，…，a2024满足要求，则1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242是完全平方数.但677是质数，而v6771！2！3！…2024！=1·1353－677+1+2·2024－1353=2019，是奇数，矛盾！
评注解法一和解法二有所类似，其关键之处是找到一个质数p，且满足vp1！·2！·3！…2024！为奇数，满足题目的不同质数p都对应一种新的解法.显然，并不是所有的质数都满足条件的，比如v20171！·2！·3！…2024！=8并不是奇数，那么究竟怎么样的质数会满足条件呢？
对于任意质数p，根据带余除法可得，2024=p·t+q0≤qlt;p，其中t=2024p.
当t=1时，即p≥1013时，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…vp2024！=1，则vp1！·2！·3！…2024！=2025－p为偶数，这也说明若取一个比较接近于2024的质数，不能直接说明1！·2！·3！…2024！不是完全平方数.
当t=2时，即675≤p≤1012时，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…=vp2p－1！=1，vp2p！=…=vp2024！=2，则vp1！·2！·3！…2024！=0·p－1+1·p+2·2024－2p+1=4050－3p，因为p为奇数，故4050－3p为奇数.这也说明了675和1012之间的质数都可以用于本题的解答，而解法一和解法二中的677和1009仅仅是两个特殊的例子.
当t≥3，且满足p2gt;2024时，即45≤p≤674时，对于1！，2！，…，2024！这2024个数，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…vp2p－1！=1，……，vpt－1p！=…vptp－1！=t－1，vptp！=…vp2024！=t，∴vp1！·2！·3！…2024！=0·p－1+1·p+2·p+…+t－1·p+t·2024－tp+1=t·2025－pt+12.据此，当t=3时，3·2025－2p为奇数，这个范围内的质数均可以用于本题的解决.当t≥3，且满足45≤p≤674时，进一步可以发现：
当t为一个4k型数时，t·2025－pt+12=2k·4050－p4k+1为偶数，这类情况下的p不能用于本题的解决；
当t为一个4k+1型数时，t·2025－pt+12=4k+1·［2025－p2k+1］为偶数，这类情况下的p不能用于本题的解决；
当t为一个4k+2型数时，t·2025－pt+12=2k+1·（［2025－p4k+3］为偶数，这类情况下的p不能用于本题的解决；
当t为一个4k+3型数时，t·2025－pt+12=4k+3·［2025－2pk+1］为奇数，这类情况下的p可以用于本题的解决.
3.问题推广
当然，将题干中的2024换成其它的数字，也可以用类似的方法来解决.例如将2024改成2027，可以得到以下问题：
问题2能否将2027个正整数写在圆周上，使得相邻两数之积恰构成集合1！，2！，…，2027！？
如果可以发现2027是一个质数，那么这个结果显然是不能成立的.
同样的，如果将将2024改成2025，那么这类问题的解决和原问题相似.
通过问题2，可以得到以下推论：
推论1p为质数，能否将p个正整数写在圆周上，相邻两数之积不能构成集合1！，2！，…，p！.
评注因为p为质数，在1！，2！，…，p！中只有p