一道2024年高中数学联赛预赛题的解法赏析及思考
1.真题呈现
（2024年高联内蒙古预赛第8题）已知关于x的方程x3－3x+4=0的三个复数根分别为z1，z2，z3，则z1－z22（z2－z3）2（z3－z1）2的值为.
2.解法探究
探求思路1给出一元三次方程的三根，可考虑一元n次方程的韦达定理处理此题.
解法1因z1，z2，z3是方程x3－3x+4=0的三个复数根知，故由韦达定理可得
z1+z2+z3=0，
z1z2+z2z3+z3z1=－3，
z1z2z3=－4，且z31－3z1+4=0①，
z32－3z2+4=0②，
z32－3z2+4=0③，，①-②得z1－z2·z21+z1z2+z22－3=0，∵z1≠z2，∴z21+z1z2+z22－3=0，∴z1－z22=3－3z1z2④.
同理得（z2－z3）2=3－3z2z3⑤，（z3－z1）2=3－3z3z1⑥，④×⑤×⑥得（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2=27（1－z1z2）（1－z2z3）（1－z3z1）=27×［1－（z1z2+z2z3+z3z1）+z1z2z3（z1+z2+z3）－（z1z2z3）2］=27［1+3+（－4）×0－42］=－324.
探求思路2利用韦达定理可解，但在用韦达定理的结论求值时，可采用不同方法简化运算.
解法2由韦达定理知z1+z2+z3=0，z1z2z3=－4，所以z2－z3z3－z1=－z23+z1+z2z3－z1z2=－z23－z23+4z3=－2z23+4z3=－1212－1z3，同理可得（z1－z2）（z2－z3）=－12（12－1z2），（z3－z1）（z1－z2）=－1212－1z1，故z1－z22z2－z32z3－z12=（-12）3（12-1z1）（12-1z2）（12-1z3）另一方面，当x≠0时，x3－3x+4=0，∴41x3－3（1x）+1=41x3－3（1x）+1=41x－1z11x－1z21x－1z3=0，令1x=12，∴12－1z112－1z212－1z3=316，∴（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2=－324.
探求思路3本题借助导数法可以实现多项式次数的降低，从而可以巧妙地解决该题.
解法3记f（x）=x3－3x+4=（x－z1）（x－z2）（x－z3），两边对x求导可得3x3－3=（x－z1）（x－z2）+（x－z2）（x－z3）+（x－z3）（x－z1），对上式中的x取z1，z2，z3，得3（z21－1）=（z1－z2）（z1－z3），3（z22－1）=（z2－z1）（z2－z3），3（z23－1）=（z3－z1）·（z3－z2），三式相乘得27（z21－1）（z22－1）（z23－1）=－（z1－z2）（z2－z3）（z3－z1）2，而（z21－1）（z22－1）（z23－1）=（1－z1）（1－z2）（1－z3）（－1－z1）（－1－z2）（－1－z3）=f（1）f（－1）=2×6=12，∴（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2.
探求思路4在计算目标式的值时，可以考虑利用行列式来进行计算，则运算比较简单.
解法4由韦达定理∑z1=0，∑z1z2=－3，z1z2z3=－4，∑z21=∑z12－2∑z1z2=6，根据范德蒙德行列式可知P=z1－z22z2－z32z3－z12=111
z1z2z3
z21z22z23
z1z2z1+z2+z3
z21z22z21+z22+z23
z21z226=3（z1－z2）（z1z2+2），对其两边平方得P2=9（z1－z2）2（z1z2+2）2=9z1+z22－4z1z2z1z2+22=9－z32－4－4z3·－4z3+22=10816z33－12z23+1，注意到z33－3z3+4=0，∴－3z23+4z33=－1，所以P2=108×－4+1=－324.
3.一般性推广
结论1已知关于x的方程x3+px+q=0的三个复数根分别为z1，z2，z3，则（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2的值为－27q2－4p3.
证明记f（x）=x3+px+q=（x－z1）（x－z2）（x－z3），∴S=－f′（z1）f′（z2）f′（z3）=－（3z21+p）3z22+p3z23+p=33－p3－z21－p3－z22.－p3－z23=－33×∏3j=1－－p3－zj.∏3j=1－－p3－zj=－33f－－p3f－p3=－33q+2p3－p3·q－2p3－p3=－33q2+427p3=－27q2－4p3.
4.追本溯源
4.1教材溯源
此题有三种解法使用了一元三次方程的韦达定理，在学生的认识里似乎超纲了，实际上它来自于人教版必修2第82页：设实系数一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=