万类抛物竞相解，别有林岸蝶惊风
摘要解析几何强调利用代数计算规避几何中繁琐的推理过程，但完全摒弃几何关系的分析，仅依靠代数运算，巨大的运算量也让人苦涩难言.因此，综合应用几何分析及代数运算，才能达到化繁为简的目的.本文以一道模考试题为例，挖掘蝴蝶定理在抛物线中的应用.
关键词蝴蝶定理；抛物线；化繁为简
华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休”.由此可见，数形结合的思想及方法在中学数学教学中发挥着巨大作用，这一点在解析几何中表现地尤为明显.因此，适当引入平面几何的部分定理，对解决解析几何问题具有事半功倍的效果.
1．蝴蝶定理内容及其推广
蝴蝶定理如图1所示，M是⊙O的弦AB的中点，CD，GH是过M点的两条弦，连接CH，DG分别交AB于P，Q两点，则MP=MQ.
关于蝴蝶定理的证明，在文［1］中给出了五种证明方法，过程比较详细，本文不再赘述.实际上，蝴蝶定理内容中的圆改成椭圆，双曲线及抛物线等一般的圆锥曲线，命题仍然成立.
命题1如图2所示，M是圆锥曲线的弦AB的中点，CD，GH是过M点的两条弦，连接CH，DG分别交AB于P，Q两点，则MP=MQ.
证明以M为原点，AB为x轴，建立如图3所示的平面直角坐标系.设圆锥曲线Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.因为M是圆锥曲线的弦AB的中点，所以将y=0代入Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0中得Ax2+Dx+F=0，其两根之和－DA=0，即D=0.设直线CD：y=k1x，直线HG：y=k2x，则过C，D，H，G的二次曲线方程为λ（Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F）+μ（y－k1x）（y－k2x）=0.直线CH，DG就是λ=λ0，μ=μ0时的退化二次曲线，其方程为λ0（Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F）+μ0（y－k1x）（y－k2x）=0.
令y=0可得点P，点Q的横坐标关系为（A+μ0k1k2）x2+Dx+F=0，因此由韦达定理可知xP+xQ=－DA+μ0k1k2=0.故MP=MQ.
可以发现蝴蝶定理中的点M非常特殊，它是弦AB的中点，如果点M不再是弦AB的中点，而是弦AB的任意一点，是否仍然有类似的结论成立呢？其实，蝴蝶定理是坎迪定理的一种特例，坎迪定理则对点M没有如此高的要求.
坎迪定理如图1，若点M不再是⊙O的弦AB的中点，而是弦AB的任意一点，CD，GH是过M点的两条弦，连接CH，DG分别交AB于P，Q两点，则1|MP|－1|MA|=1|MQ|－1|MB|.
坎迪定理的证明，文［1］也给出了一种初等数学方法的证明.与命题1类似，坎迪定理中的圆改成任意圆锥曲线，结论成立.
命题2如图2所示，若点M不再是圆锥曲线的弦AB的中点，而是弦AB的任意一点，CD，GH是过M点的两条弦，连接CH，DG分别交AB于P，Q两点，则1|MP|－1|MA|=1|MQ|－1|MB|.
命题2的证明方法与命题1类似，采用二次曲线系方程即可快速得证.文［2］中已有详细叙述，本文不再介绍.
2．蝴蝶定理在抛物线中的应用
如图4，对于抛物线y2=2px（pgt;0），直线PQ，MN都经过点B（b，0），分别交抛物线于P，Q两点及M，N两点.直线PN经过点A（a，0），直线MQ经过点C（c，0）.
若将x轴看作是抛物线内一条弦，并且与抛物线交于原点及无穷远处.则由坎迪定理可得：
结论11|BC|=1|BA|－1|BO|，即1c－b=1b－a－1b，即b2=ac.
证明设直线PQ：x=t1y+b，直线MN：x=t2y+b，则过P，N，Q，M的二次曲线系方程为λ（y2－2px）+μ（x－t1y－b）（x－t2y－b）=0，则直线PN，QM就是λ=λ0，μ=μ0时的退化二次曲线，其方程为λ0（y2－2px）+μ0（x－t1y－b）（x－t2y－b）=0，则点A，C横坐标所满足的方程为μ0x2+（－2bμ0－2pλ0）x+μ0b2=0，则由韦达定理可知ac=b2，命题得证.
图4中还蕴含着三角形面积的比例关系，文［3］详细阐述了ΔPBN与ΔQBM的面积之比，得出结论：SΔPBNSΔQBM=|AB|2|BC|2，本文不再详细叙述.其实经过推理，ΔPBN与ΔQBM的面积之比还可以表示成另外一种形式：
结论2SΔPBNSΔQBM=|OA||OC|=ac.
证明设直线PQ：x=t1y+b，直线MN：x=t2y+b，直线PN：x=t3y+a，直线MQ：x=t4y+c.联立直线PQ与抛物线方程并化简可得x=t1y+b，
y2=2pxy2－2pt1y－2pb=0.由韦达定理可知yPyQ=－2pb，同理可得yMyN=－2pb，yPyN=－2pa，yMyQ=－2pc.因此得SΔPBNSΔQBM=|yPyN||yQyM|=|yMyN||yMyQ||yPyN|