几道三角形“四心”数学竞赛题的求解
三角形的四心即重心、垂心、内心和外心问题涉及到的知识面较广，且极具思考性和挑战性，是数学竞赛命题的重点.本文精选几道与“四心”有关的竞赛题进行解析，旨在探究“四心”在数学竞赛中的应用.
评注：重心是三角形三条中线的交点.重心一定在三角形的内部.重心的几条性质：①重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2：1；②重心和3个顶点组成的3个三角形面积相等；③在平面上所有点中，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.解题时主要运用重心的性质.
例2（江苏省第十五届初中竞赛初二1试9改编）如图3，H为△XYZ的垂心，∠XHF=40°，那么∠XYZ=.
解析：利用垂心的定义得到垂直关系，然后利用三角形内角和定理求出角的值.
在△XYZ中，因为H为△XYZ的垂心，所以XK⊥YZ，ZF⊥XY，所以∠HKZ=∠ZFY=90°.因为∠XHF=40°，所以∠ZHK=40°，所以在△HKZ中，∠HZY=50°.所以在△ZHY中，∠FYZ=50°，故∠XYZ=40°.
评注：垂心是三角形三条高线的交点.锐角三角形的垂心在三角形的内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.垂心的性质：垂心与三角形的三个顶点、三条高的垂足组成6组四点共圆.解题时主要运用线段的垂直关系.
例3（2016年福建省大梦杯初中数学竞赛九年级4）如图4，在△ABC中，AB=6，BC=3，CA=7，I为△ABC的内心，连接CI并延长交AB于点
评注：内心是三角形内切圆的圆心，是三条内角平分线的交点.内心一定在三角形的内部.内心的性质：内心到三角形三边的距离相等，都等于内切圆半径r.解题时主要利用角平分线的性质列式求解.
例4（2015年全国初中数学联赛（A）一试9）已知锐角△ABC的外心为O，AO交BC于D，E、F分别为△ABD，△ACD的外心，若AB＞AC，EF=BC，则∠C-∠B=.
解析：利用外心的定义和性质推理求解.
评注：外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.外心的性质：外心到三角形三顶点的距离相等.
例5（2017年福建省大梦杯初中竞赛5）如图
评注：外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.外心的性质：外心到三角形三顶点的距离相等.