HPM视角下“等比数列的前n项和公式”的教学
覃淋喻晓婷
《普通高中数学课程标准（2017）》在“教材编写建议”中指出，“要体现数学内容的逻辑体系，揭示数学内容的发生、发展过程……创设合适的问题情境，设计有效的数学学习活动，展示数学概念、结论、应用的形成发展过程．”数学史作为数学教学的重要资源，数学史的教育价值也得到了理论与实践两个层面的普遍认同．美国数学史家卡约里（FlorianCajori，1859-1930）认为“数学史是使面包和黄油更加可口的蜂蜜”，在其著作《AHistoryofMathematics》（1926）中指出：“如果用历史轶事点缀枯燥的计算和证明，学生的兴趣就会大大增加．……通过对数学历史的介绍，能够让学生明白数学并不是一门呆板乏味的学科，而是一门不断进步且生动有趣的学科.”有学者从概念、文化、动机三个层面讨论了数学史的教育价值，指出数学史具有帮助学生拓宽视野、增加兴趣、创造学习动机、促进学生思考等教育价值．数学史融入课堂教学的实践表明，数学史具有知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效等多元的教育价值和文化价值．
“等比数列的前n项和”是人教A版高中数学选择性必修二第4章《数列》4.3节的内容，是“等差数列”内容的延续，是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具．等比数列模型在实际生活中有着广泛的应用，蕴含了一些重要的数学思想方法．《普通高中数学课程标准（2017）》中要求学生“探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．”
本文通过选取历史上的素材，设计一系列问题，将数学史上不同地区、不同民族关于等比数列求和公式的多种推导方法融入课堂教学，让学生了解数学知识的发生发展的历程，感受数学的文化多元性，领略数学文化的魅力，形成动态的数学观，发展学生的数学核心素养；并通过数学史融入课堂教学，培养学生对数学积极的情感态度，营造人性化的课堂，在潜移默化中实施数学学科德育，落实立德树人根本任务．
2教学设计与实施
2.1创设情境，呈现问题
首先引导学生复习前面学习的等差数列的定义、通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式等内容．然后提出19世纪初，美国数学家亚当斯（D.Adams，1773-1864）的著作《学者算术》中的妻子问题：我赴圣地伊夫斯，路遇一男携七妻，一妻各自负七袋，每袋都装七猫咪，猫咪又把七仔生，同去圣地共几何？
对于这个问题，学生很容易想到把每项算出来，再相加．接着教师再用PPT呈现“棋盘问题”，教师再向学生提问，“如何计算棋盘上的麦粒总数？”
在学生交流讨论的同时，教师播放制作的微视频介绍等比数列求和问题的历史以及历史上一些著名的等比数列求和问题．
2.2合作交流，探究规律
教师通过课前制作的微视频，介绍等比数列求和公式推导的可能思路．引导学生分小组进行探究．小组讨论后，请各组代表分别上台展示．
小组一：（错位相减法）
问题2今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．问共几何？（《孙子算经》）
问题3远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头灯几盏？（《算法统宗》）
2.5总结提升
本节课学习了等比数列的前n项和公式，从古巴比伦泥版上的分财产问题，经历了古埃及人、《几何原本》、印度数学家、中世纪欧洲数学家，再到欧拉《代数学基础》中的错位相减法，领略了历史上等比数列求和公式的不同精彩证法．同学们在本节课中学习了多种数学思想方法：特殊到一般的思想、方程的思想、数学结合的思想、分类讨论的思想，同时也培养同学们的数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理以及数学建模等数学核心素养．并且通过对不同文明中等比数列求和公式的不同推导方法的介绍，让我们多了一个观察角度，多了一种表达方式，多了一种研究手段．
3学生反馈
课后，对全班41名学生进行问卷调查．80%的学生听懂了本节课的内容，极少部分基础较差的学生觉得本节课课堂容量有些大．95%的学生喜欢本节课中数学史融入课堂的教学方式，希望老师在以后的教学中也多采用这样的方式进行教学．
学完本节课后，学生会想到的关键词有：巴比伦泥版、纸草书、《孙子算经》、《几何原本》、《算法统宗》、欧拉、数学文化、数学史等．
关于本节课中印象最深的内容，学生的典型回答有：古埃及人的计算方法非常巧妙，但我們也不能完全局限于他们的思路；历史让人穿越迷雾，感受到了数学的脉动；解决同一问题常常有不同的方法，让人大开眼界；历史上的数学问题很有意思，很多公式的发明创造，都是数学家为了解决实际问题的而创造的；数学公式并不是凭空产生的；数学文化博大精深，中国古代数学家在数学上也做出了很大贡献．
学生的这些回答，正如法国数学教育家J.Swetz所言