一题多变：典型教材习题的探究与拓展
一题多变的变式教学和训练有助于学生掌握知识和提升能力.以“一核、四层、四翼”高考评价体系为指引，一题多变教学策略主要体现在“四层、四翼”的教学评价体系中.在这种评价体系中，“一题多变”的教学策略可以作为一种教学方法，有助于帮助学生理解问题、掌握知识、提高思维能力和创新能力.同时，“一题多变”也符合“四翼”中关于教学评价的思路，即多元化评价，包括过程性评价、表现性评价等多种评价方式.通过一题多变的变式教学和训练，可以帮助学生从不同角度理解问题，从而更好地掌握知识，提高发散思维能力和创新能力.
一题多变的变式教学和训练较好地适用于解析几何中定点问题、角度或斜率问题、面积或面积最值问题的思考.在高中数学教学中，学生面对的主要问题之一就是如何在数学中提升自己的思维能力与问题解决能力.圆锥曲线部分可以较好地考查数形结合、函数与方程、转化与划归等数学思想，体现对直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等关键学科核心素养的考核，是高考的重要考点，在高考中所占比重非常大.笔者通过搜索和查找2014年到2023年高考全国新课标I卷、新课标II卷、新课标Ⅲ卷、甲卷文理科和乙卷文理科解析几何解答题的考题和考点，发现解析几何中定点问题、角度或斜率问题、面积或面积最值问题是高频考点，三类重要考点几乎覆盖所有年份，分别统计如下：
（1）.定点问题：2023年新课标Ⅱ卷理科21、2023年全国乙卷理科20文科21、2022年全国乙卷理科20文科21、2020年新课标Ⅰ卷理科20文科21、2019年新课标Ⅲ卷理科21、2017年新课标Ⅰ卷理科20.
（2）.角度或斜率问题：2021年新课标Ⅰ卷理科21、2018年新课标Ⅰ卷理科19文科20、2015新课标Ⅰ卷理科20.
（3）.面积或面积最值问题：2023年全国甲卷理科20文科21、2022年新课标Ⅰ卷理科21、2021年全国乙卷理科21、2020新课标Ⅱ卷理科21、2020年新课标Ⅲ卷理科20文科21、2019年新课标Ⅱ卷理科21、2019年新课标Ⅲ卷理科21、2016年新课标Ⅰ卷理科20、2014年新课标Ⅰ卷理科20.
一题多变的变式教学和训练蕴含着巨大的学生数学核心素养培养价值.美国著名数学教育家波利亚指出：“一个专心地认真备课的教师能拿出一个有意义的但不复杂的问题去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.新教材中的一些典型例题或课后习题，都是我们可钻研的资源，这些题目典型、知识丰富、综合性强、灵活度高，如果有针对性地加以运用、有理论性地加以引导、有目标性地加以探索、有思维性地加以扩展，则能够全面提升和培养学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理以及数学抽象等数学学科核心素养.
1.源于教材
例题（人教A版选择性必修第一册第138业习题3.3第6题）如图1，直线y=x－2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.
证明联立y=x－2，
y2=2x，消去x整理可得y2-2y-4=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=－4.所以kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2y122·y222=4y1y2=-1，故OA⊥OB.
以上问题的实质就是抛物线的弦对顶点张直角，可利用抛物线与直线联立，利用韦达定理证出结论.下面，笔者以该题为载体进行变式探究与拓展，研究圆锥曲线点线面位置关系常考知识点—定点问题、角度或斜率问题、面积或面积最值问题的解题方法和策略，结合逻辑推理和数学运算，得到相关问题的一些优美结论.
2.变式探究与拓展
2.1定点问题
在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.证明直线（曲线）过定点的基本思想是确定方程，即使用一个参数表示直线（曲线）方程，根据方程成立与参数无关得出关于x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线（曲线）所过的定点.一般来说，“特殊位置法”（先猜想后证明）和“去参数法”（让参数失效）是处理这类问题的常用方法.
变式1直线AB与抛物线y2=2x相交于A，B两点，若OA⊥OB，求证：直线AB恒过定点.
本题通过交换习题中的条件和结论，考查直线与抛物线相交，两交点与顶点张直角的条件下，直线过定点问题，全面考查解析几何中解决定点的通性通法，对考生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力有一定要求，具有较好的区分度.
解法1（代数法）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+t.
联立x=my+t，y2=2x，消去x整理可得y2-2my-2t=0.由韦达定理可得y1y2=-2t，所以kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2y122·y