一道抛物线试题的解法探究与推广
本文给出对2024年合肥市高三第一次教学质量检测数学试卷第18题的解法探究，并对该题进行推广.
1．问题呈现
题目已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F0，1，过点F的直线l与C交于A，B两点，过A，B作C的切线l1，l2，交于点M，且l1，l2与x轴分别交于点D，E.
（1）求证：DE=MF；
（2）设点P是C上异于A，B的一点，P到直线l1，l2，l的距离分别为d1，d2，d，求d1d2d2的最小值.
此题以抛物线和阿基米德三角形为背景，将切线、交点弦与距离相融合，问题表述简捷，但设置新颖，符合“三新”背景下的高考改革要求.在考查基础知识、基本思想和关键能力的同时，进一步考查学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等素养.
2.问题解析
解法1：（1）易知C的方程为x2=4y.设点Ax1，y1，Bx2，y2，由题意可设l：y=kx+1，联立抛物线方程，可知x1+x2=4k，x1x2=－4.再根据导数性质，得l1：y－y1=x12x－x1，即y=x12x－x214.求得Dx12，0.同理，l2：y=x22x－x224，且Ex22，0，所以DE=12x1－x2=12x1+x22－4x1x2=2k2+1.
由y=x12x－x214，
y=x22x－x224，求出M2k，－1，所以MF=4k2+4=2k2+1.故DE=MF.
（2）设点Px0，y0，由（1），l1：y－y1=x12x－x1，即l1：2x1x－4y－x21=0.
因为x21=4y1，x20=4y0，所以d1=2x1x0－4y0－x214x21+16=2x1x0－x20－x214x21+16=x1－x022x21+4.
同理，d2=x2－x022x22+4.所以d1d2=x1－x022x21+4·x2－x022x22+4=-4-4kx0+x02232k2+1，
又d=kx0－y0+1k2+1=kx0－x204+1k2+1=4kx0－x20+44k2+1，所以d1d2d2=－4－4kx0+x20232k2+1·16k2+14kx0－x20+42=k2+12≥12.
当且仅当k=0时，等号成立.即直线l斜率为0时，d1d2d2取最小值12.
点评：解法1根据抛物线的特点，结合导数的几何意义求出切线方程，解题的一般思路是“设直线方程（求出切线方程）→根据两点间距离公式和点到直线距离公式→利用点在直线上转化→化简求解”，方法直接，符合大多数学生认知，但是有一定的运算量.
解法2：（1）易知抛物线方程为x2=4y.设A2a，a2，B2b，b2，设直线l，l1，l2的斜率分别为k，k1，k2，由x2=4y得y′=12x，则k1=a，k2=b，所以切线l1：y－a2=
ax－2a，令y=0得xD=a.同理，xE=b.所以DE=xD－xE=b－a.
由k=a2－b22a－2b=a+b2，得l：y=a+b2x+1，代入x2=4y，得x2－2a+bx－4=0，所以2a·2b=－4，即a·b=－1.解方程组y=ax－a2，
y=bx－b2，得xM=a+b，
yM=ab=－1.所以MF=a+b2+4=a+b2－4ab=a－b2=b－a.故DE=MF.
（2）设P2c，c2，则点P到l1：ax－y－a2=0的距离d1=2ac－c2－a2a2+1=a－c2a2+1，
同理点P到l2的距离d2=b－c2b2+1，所以d1·d2=a－c2a2+1·b－c2b2+1=a－c2b－c2a2+1b2+1.
点P到l：a+bx－2y+2=0的距离d=2（a+b）c－2c2+2a+b2+4=2（a+b）c－c2+1a+b2+4=2（a－c）b－ca2+b2+2，所以d2=4（a－c）2b－c2a2+b2+2.从而d1d2d2=a2+b2+24a2+1b2+1≥2a2+1b2+14a2+1b2+1=12.当a2=b2=1时，等号成立.故d1d2d2最小值为12.
点评：解法2根据题意巧设点的坐标，得到a·b=－1，在解决第（2）问时，根据a·b=－1将d化简成2（a+b）c－c2－aba2+b2+2，再因式分解得到d=2（a－c）b－ca2+b2+2，这是解决本题的关键，最后再根据基本不等式即可得到结果，方法2不易想到，而且化简变形有一定的难度.
解法3：（1）易知抛物线方程为x2=4y.设A（x1，y1），B（x2，y2），Ma，b，则xi2=4yi（i=1，2）.由抛物线的切线方程可知A、B点处切线方程分别为l1：x1x－2y－2y1=0①，l2：x2x－2y－2y2=0，令①中的y=0，可得xD=2y1x1=x12.同理可得xE=x22.所以DE=12x1－x2.由切点弦方程可知l：ax=2b+2y，再将F0，1代入可知b=－1，