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文档摘要

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一道抛物线背景最值题的解法与推广

1.试题呈现

题目已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2=8x上两个不同的动点，且满足y1y2=-16，则x1+y1+2+x2+y2+2的最小值为.

2.解法探析

解法1：如图1，设弦AB的中点为M（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0.过点A，B，M分别作直线x+y+2=0的垂线，垂足分别A′，B′，M′.

评注：试题的题设条件为抛物线及抛物线上A，B两点纵坐标的积为定值，待求结论为含有绝对值代数式的和的最值.解法1基于以下几点进行求解的：①将待求结论转化为A，B两点到直线x+y+2=0距离和；②MM′是梯形AA′B′B的中位线；③弦AB的中点为M的轨迹为曲线y2=4x-8；④从“形”的视角看最值的条件.

评注：与解法1相对比，解法2是从方程的视角研究直线与曲线相切求解最值的，体现了“形”与“数”无缝隙链接地运用.

评注：解法3运用代入、配方等代数式的变形手段及非负数性质等，从代数视角求解最值的，很好地诠释了以“数”释“形”的含义.

评注：解法4运用代入、联立方程、配方等代数式的变形手段及二次函数最值等，数形结合求解最值.

3.试题变式

试题中的条件“y1y2=-16”实质上等价于直线AB过抛物线焦点，于是可将试题变式为：已知为过抛物线y2=8x焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，则x1+y1+2+x2+y2+2的最小值为.

简析：F（2，0），AB：x=my+2与y2=8x，得y2-8my-16=0，所以y1+y2=8m，y1y2=-16.下同解法3.

4.结论推广

试题由抛物线“搭台”，含双绝对值的代数式“唱戏”，是一道“数形结合”的好试题.将试题推广为一般情形，可得到下面的结论.