一道课本例题变式探究教学之刍议
一、原题再现
例题（人教版教材八年级上册P83第12题或九年级上册P63第10题）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE=CD.
分析：欲证BE=DE，可联想到△ADC与△ABE全等.对于△ADC≌△ABE的证明，可从两个角度分析：（1）从动态的角度来观察，把△ABE绕点A顺时针旋转60°，点B与点D，点E与点C重合，得到△ADC，所以△ADC≌△ABE.
（2）从静态的角度来分析，由题目“△ABD，△AEC都是等边三角形”的条件中可得到AD=AB，AC=∠BAE，且∠DAB=∠CAE=60°，再从∠DAB=∠CAE=60°这一条件进一步加工得出条件“∠DAC=∠BAE”，从而得到△ADC与△ABE全等（边角边）.
点评：通过这样动与静两个角度的分析引导，培养学生分析问题的能力及几何直观能力，再把解题过程按条理顺序写出，提高了学生的逻辑思维推理能力，增强了学生的数学核心素养.
追问1：如图2，设CD与BE相交于点O，AB与CD相交于点M，AC与BE相交于点N.求∠BOD，∠DOE的度数.
分析：由原题的求证可得△ADC≌△ABE，则∠ADC=∠ABE，在线段AB与OD形成的“8”字型图形中，可得到∠DAB=∠BOD=60°，则∠DOE=120°；也可由∠DOE=∠BDO+∠DBO，从三角形全等得到角相等，即∠ADC=∠ABE，又∠BDO=60°-∠ADC，∠DBO=60°+∠ABE通过等量代换，进而得到∠DOE=120°.
点评：前者的解法建立在模型的基础上，后者的解法建立在等量代换基础上.
追问2：如图3，连接AO，其他条件不变.求证：AO平分∠DOE.
分析：要证明AO平分∠DOE，可联想到角平分线的逆定理——到角的两边距离相等的点在角平分线上，因此，过点A分别作AG⊥CD，AH⊥BE，垂足分别是点G和点H.可通过再证明△ADG≌△ABH（或△AGC≌△AHE），得到AG=AH，从而证明AO平分∠DOE.当然，还可以由△ADC≌ABE，得到S△ADC≌S△AHE，且CD=BE，则AG=AH.
点评：不仅能通过证明三角形全等来证明AG=AH，还能通过等面积法来证明，让学生感受到面积法的美妙，体会数学的简洁美.
追问3：如图3，其他条件不变，求∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠AOC，∠BOC的度数.
分析：综合上述追问1和追问2的相关结论，很自然地求得∠AOD=∠AOE=60°，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.
点评：通对课本教材原题不懈地追问思考，得到许多结论；同时，对于追问1、追问2的多解思考，能进一步培养学生的发散思维能力，增强数学核心素养.
二、变式探究
变式1已知△ABC中，每一个内角都小于120°，在△ABC内找一个点O，使∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.请画图找出点O，并证明.
分析：如图3，分别以AB，AC边为边向外作等边三角形△ABD，△AEC，连接CD，BE，则相交点即为要找的点O.此题的证明不难，实际上就是原题与追问3结论的应用.
点评：从逆向思考的角度，对原题的结论进行应用的变式.通对这样的变式，对原题与追问的结论进行进一步的理解并应用，培养学生的应用意识与创新意识.同时，该变式也可进一步拓展应用，点就是的费马点，这对学生后续进入高中学习平面向量知识奠定了基础，拓展了学生的数学视野.
变式2如图4，以△ABC的三边为边在BC边的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△AEC，△BCF.请回答下列问题：
（1）判断四邊形ADFE是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形、矩形、正方形？
（3）当满足什么条件时，以A，D，F，E为顶点的四边形不存在？
分析：（1）要证四边形ADFE是平行四边形，可通过两组对边分别相等来证明.
（2）当△ABC中的AB=AC时，则AD=AE，平行四边形ADFE是菱形.
当△ABC中的∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是矩形.因为∠DAB=∠EAC=60°，∠BAC=150°，所以∠EAD=90°，所以平行四边形ADFE是矩形.由上述条件可得，当△ABC中的AB=AC，∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形；即同时满足是菱形与矩形的条件，则平行四边形ADFE是正方形.
（3）当△ABC中的∠BAC=60°时，以A，D，F，E为顶点的四边形不存在.因为∠CAB=∠BAD=∠EAC=60°，所以∠EAD=180°，此时A，D，E三点共线，四边形不存在.（也可用几何画板拖动点来验证.）
点评：从原题的角度进行拓展变式，即再以边向外作一个等边，从而产生出新的四边形，得出多个相关结论.通过这样的变式拓展，有利于提高学生的创新应用能力.
变式3（人教版教材九年级上册P76第5