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文档摘要

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一道解三角形高考题的拓展探究

解三角形是历年高考的重点内容之一，重点考查学生对正（余）弦定理、三角恒等变换、不等式等知识，以及数形结合、消元、换元等数学思想方法的灵活运用，同时注重学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养的考查．

1.试题呈现

2.解法分析

3.拓展探究

评析：变式1的处理方式还是将边变量转化为角变量，从而得到C和B的关系tanC=3tanB，再由两角差的正切公式以及基本不等式求出tan（C-B）的最大值，从而得出C-B的最大值及此时的各内角度数，发现此时△ABC为直角三角形．

在原题的基础上，若设置部分长度条件，则可以求三角形的面积、周长等最值，使题目的考查内容更为丰富，如变式2．

评析：已知三角形边长或其外接圆半径时，利用正弦定理，将边变量转化为角变量是解决三角形面积最值问题的常见处理方式．

评析：已知三角形边长之间的等量关系时，利用正弦定理，将边变量转化为角变量求三角函数最值或者转化为基本不等式是解决三角形角变量最值问题的常见处理方式．

高考题具有引导教学的重要作用，教师在教学中应充分发挥高考题的引导作用，不能止于“就题讲题”．解三角形问题的关键往往在于边变量与角变量的相互转化，转化的工具主要有正弦定理和余弦定理，特别是涉及不等式或最值问题时，一般要将求解对象完全表示为边变量或角变量的函数．其中，对于三角形形状没有限制的最值问题，可以尝试从边入手，再利用基本不等式求最值，这样计算量相对较小；对于三角形形状有限制的最值问题，则需要从角入手，根据题意求出角的取值范围，再利用三角函数或基本不等式求最值.