一道高考函数试题的题源探究
一般地，解题及命题活动过程实际上是数学语言互相转化过程，即图像语言、符号语言、自然语言的相互转化过程.命题，常常是把图像语言转化为符号语言和自然语言；解题，则是把自然语言转化成图像语言和符号语言.命题，是一个包装的过程；解题，则是一个拆包装的过程.2016年高考全国I卷的函数导数试题，是研究两个有相同极值点的函数交点情况，从函数的图象特征中提出问题，编制试题．
1.题目呈现
（2016年高考全国I卷）已知函数f（x）=x－2ex+ax－12有两个零点．
（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2lt;2．
本题主要考查函数的零点、导数及其应用、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
2.命题手法
研究一道试题的命题背景和手法，往往是从观察函数图象开始的，这也是数形结合思想、直观想象素养在数学学习者身上的自然反应．我们认为本题的命题是从研究两函数图象的交点情况开始的．
（1）首先设定函数背景．构造两个有相同极值点1的函数f1（x）=x－2ex，f2（x）=ax－12，其中两个函数的图象一动一定．
（2）接着观察图象变换情况．随着参数a的变化，曲线y=f1（x）与y=f2（x）可能有1个交点，也可能有2个交点，且两个交点到直线x=1的距离不相等．
（3）最后根据观察的结果设置问题．由图象可以直观地看到：当a=0时，曲线y=f1（x）与y=f2（x）=0有且只有1个交点；如图1，当agt;0时，曲线y=f1（x）与y=f2（x）有且只有1个交点；当alt;0时，
曲线y=f1（x）与y=f2（x）有且只有2个交点，如图2，且左边交点到直线x=1的距离比右边交点到直线x=1的距离更远．
由此可设置问题：（i）已知函数f（x）=x－2ex+ax－12有两个零点，求a的取值范围．
（ii）设x1，x2是f（x）=x－2ex+ax－12的两个零点，证明：x1+x2lt;2．
3.解法探究
解：（1）由已知得f′（x）=x－1ex+2ax－1=x－1ex+2a．
①若a=0时，由f（x）=0，得x－2ex=0，解得x=2，故f（x）只有唯一的零点x=2，不合题意．
③设alt;0时，由f′（x）=0得x=1或x=ln－2a．
综上a的取值范围为0，+∞．
4.反思拓展
问题（2）可理解为：比较函数f（x）=x－2ex+ax－12的两个零点x1，x2的算术平均数与函数f（x）的极值点1的大小关系，此类问题我们称之为“极值点偏移”问题．
关于两个正数x1，x2的平均数，《普通高中课程标准实验教科书》介绍了算术平均数与几何平均数，匡继昌教授在《常用不等式》中收录的关于两个正数的“平均”类型多达十九种，其中在中学数学常见的有：
并且上述平均数之间满足不等关系H（x1，x2）≤G（x1，x2）≤L（x1，x2）≤E（x1，x2）≤A（x1，x2）≤S（x1，x2）．
常见的极值点偏移问题，可以比较x1，x2的算术平均数，几何平均数，调和平均数，平方平均数，对数平均数，指数平均数等与极值点的大小．特别地，命题中的极值点常设定为常数1.
［1］中华人民共和国教育部制定．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］．北京：人民教育出版社，2020：8．
［2］杨苍洲．几何直观素养下的含参数问题的速解策略［J］．数学通讯，2020（3）：38-39，47．