一道高考概率问题的多解探究与变式
摘要本文采用了穷举法、组合计数法、对应思想等方法对２０２４年新高考Ⅰ卷第１４题进行了多解分析，并在此基础上进行变式探究，对高考复习及教学提供一定的参考价值．
关键词概率；对应与对立事件
题目（２０２４年新高考Ⅰ卷第１４题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字１，３，５，７，乙的卡片上分别标有数字２，４，６，８．两人进行四轮比赛．在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得１分，数字小的人得０分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于２的概率为______．
１．试题分析
试题主要考查古典概型的概率求解问题．学生首先认识到，两人各自随机选卡片时甲得分的分布列与其中一人固定选卡片的顺序，另一人随机选卡片时甲得分的分布列完全相同，从而将问题转化为讨论４！＝２４种情况中有多少种情况能使得甲的总得分不小于２．接下来，学生可以直接列举所有情况讨论，也可以巧妙地使用对应和对立事件的性质来得到结论．
２．多解探析
解法１（巧用对应和对立事件）记题述的比赛过程为比赛Ａ，定义比赛Ｂ为将乙手中写有数字８的卡片换为写有数字０的卡片之后的比赛过程，考虑比赛Ａ与比赛Ｂ之间的关系．
首先，在比赛Ａ中，乙选出写有数字８的卡片的一轮，甲必然得０分．而当这张卡片换为写有数字０的卡片之后，甲这一轮必然得１分．因此在比赛Ｂ中甲的得分分布列与在比赛Ａ中甲的得分加上１之后的分布列完全相同．
其次，若将比赛Ｂ中的每张卡片上的数字都增加１，则两人的得分情况和得分分布列不会有变化，而全部增加１之后相当于比赛Ａ中甲乙两人交换了手中的卡片．因此在比赛Ｂ中乙的得分分布列与在比赛Ａ中甲的得分分布列完全相同．
因此，在比赛Ａ中甲的得分不小于２的概率等于在比赛Ｂ中甲的得分不小于３的概率，也等于比赛Ｂ中乙的得分不小于２的概率．由于在比赛Ｂ中，两人得分之和恒为４，且两人的得分都是整数，所以“甲的得分不小于３”和“乙的得分不小于２”互为对立事件，它们发生的概率之和为１．因此上述两个事件发生的概率均为１/２，即在比赛Ａ中甲的得分不小于２的概率为１/２．
解法２（转化为一方随机选卡之后枚举计算）易知题述概率等于甲固定选卡片的顺序，乙随机选卡片时甲得分不小于２的概率．不妨设甲选卡片的顺序为１，３，５，７，在此古典概型中，乙选卡片的不同顺序共有４！＝２４种，而使得甲得分不小于２的所有顺序共有１２种，分别为２，８，４，６；４，２，８，６；４，８，２，６；６，２，４，８；６，２，８，４；６，８，２，４；６，８，４，２；８，２，４，６；８，２，６，４；８，４，２，６；８，６，２，４；８，６，４，２．因此答案为１２/２４＝１/２．
解法３（转化为一方随机选卡之后使用概率和排列组合进行计算）易知题述概率等于甲固定选卡片的顺序，乙随机选卡片时甲得分不小于２的概率．不妨设甲选卡片的顺序为１，３，５，７，显然甲选写有数字１的卡片的那一轮必然得０分，因为甲得分不小于２等价于其他三轮中甲至少有两轮是数字较大的一方．记Ａ３，５为事件：甲选写有数字３，５的卡片的两轮都是数字较大的一方；Ａ３，７为事件：甲选写有数字３，７的卡片的两轮都是数字较大的一方；Ａ５，７为事件：甲选写有数字５，７的卡片的两轮都是数字较大的一方；Ａ３，５，７为事件：甲选写有数字３，５，７的卡片的三轮都是数字较大的一方.