一般观念统领下的初中数学探究活动课
郑为勤蔡海涛
“一般观念”是指对本学科学习和研究具有广泛、持久、深刻影响的基本数学思想方法和基本思维策略［1］.数学教学中，为帮助学生获得“四基”，发展“四能”，教师可以通过探究活动的选择与设计，课堂活动的规划与开展，引导学生在掌握知识与技能的同时，感悟数学思想，培养思维能力，积累活动经验，发展核心素养.初中阶段的“图形与几何”包括“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题，从演绎推理、运动变化、量化分析研究图形的基本性质和相互关系.笔者以一般观念统领，设计“坐标与旋转”探究活动课，下呈现本节课的教学过程与反思，期抛砖引玉.
1?教学实施
1.1?复习引入
填空：（1）已知点M和点N关于x轴对称，点M（2，3），则点N的坐标是；
（2）已知点M（2，a），点N（a+b，3）.若点M和点N关于y轴对称，则a=，b=；
（3）在平面直角坐标系中，将点A（3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后点的坐标是.
设计意图：引导学生回忆已学习过的两种图形变换，在复习“坐标表示平移”“坐标表示轴对称”相关知识点的过程中，促进学生回忆在前面的学习中是如何探索、总结用坐标表示对称、平移的.点的几何变换有对称、平移、旋转.学习旋转后，应该能想到提出新的问题：能用坐标表示旋转吗？类比对称、平移的研究，把问题特殊化为“一个点绕定点旋转一个定角度后的坐标”.
1.2?自主探究
操作探索：把点P（a，b）绕原点顺时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标是什么？
引导学生可以从特殊的点入手，在格点纸上完成以下步骤：
画图：把点M（3，4）绕原点顺时针旋转90°后的对应点的坐标是.
观察：把点M（3，4）绕原点顺时针旋转90°后的对应点的坐标是（4，-3）.
学生小组合作，小组中四人分别在格点纸上描不同象限的点，画出它绕原点顺时针旋转90°后的对应点，并写出坐标；收集旋转前后点的坐标填入表格，观察旋转前后的坐标间有什么联系.
猜想：点P（a，b）绕原点顺时针旋转90°后的对应点P′的坐标是（b，－a），验证猜想是一个从特殊到一般的过程.如图1，假设点（a＞0，b＞0），画出旋转后的点P′.通过作垂线把点的坐标与线段长联系起来，并构造全等三角形，得到对应线段的长，从面确定出旋转后的点P′的坐标是（b，－a）.
设计意图：该环节自主探究的内容是把点P（a，b）绕原点顺时针旋转90°后对应点P′的坐标是什
么？运用了“特殊与一般”“操作——观察——猜想——验证”的探究策略，让课堂充满了挑战性、探究性和思维性，同时引导学生从解决问题的角度方法、思维策略等方面进行反思和归纳，寻求问题解决的规律和思维方法，有效渗透数学思想，发展学生抽象素养.
1.3?类比迁移
例1?如图2，把点P（3，4）绕点（1，0）顺时针旋转90°后对应点的坐标是什么？
分析：（法一）类比绕原点旋转求点坐标的思路，如图3，构造“一线三直角”，从三角形图3全等中得线段长PC=O′D=2，O′C=P′D=4，进一步得OB=2，P′B=5，再结合点所在的象限写出点P′的坐標为（5，-2）.
（法二）如图4，把点P（3，4），点（1，0）均向左平移1个单位，图4问题也可变式为点M（2，4）绕原点顺时针旋转，得旋转后点M的坐标（4，-2），再平移回原有的位置确定点P′坐标（5，-2）.
（法三）用转化的方法，如图5，把y轴向右平移1个单位，那么问题就变式为点（2，4）绕原点顺时针旋转，得旋转后点的坐标为
（4，-2），再考虑旋转后的点P′在原直角坐标系中的坐标为（5，-2）.
拓展：（选做）
（1）把点P（a，b）绕点（1，0）顺时针旋转90°后对应点的坐标是什么？
（2）把点P（a，b）绕点（0，1）顺时针旋转90°后对应点的坐标是什么？
（3）把点P（a，b）绕点（1，1）顺时针旋转90°后对应点的坐标是什么？图6
设计意图：本环节通过类比第二环节，着力探索当旋转中心改变时如何用坐标表示，既检验对基本的思路、通性通法的掌握程度，同时渗透转化化归的数学思想.
1.4?综合运用
例2?如图6，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4分别与x轴、y轴交于点A、B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线表达式为.
分析：易得点坐标为A（-2，0），点B坐标为（4，0）.
根据“两点确定一条直线”，所以要确定旋转后直线的表达式，只需再确定一个点的坐标，再用待定系数法求旋转后直线的表达式即可.图7
（法一）如图7，先确定点B（4，0）绕点A（-2，0）顺时针旋转90°后的点B′的坐标为（2，-2）；用点A、B′确定旋转后直线的解析式.
（法二）如图8，由直角平面坐标系和旋转提供的直角，AO是Rt△ABC斜边上的高.这个
基本图形中