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文档摘要

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椭圆内一类定角三角形相关最值问题探究

非特殊角度条件往往是解析几何问题中转化的一个难点，本文将一道经典教材习题中的角度一般化，借助信息技术探究并利用三角函数、导函数等相关知识严格证明，得到了一些有意义的结论，希望对大家命题及解题有所启示.

1.探究缘起

在人教版高中数学老教材选修4-4坐标系与参数方程中，有这样一道椭圆习题：

这个问题等价于探究用顶点在原点的直角去截椭圆所产生的定值与最值，将直角一般化为定值角度θ（0lt;θlt;π），借助信息技术探索，可以得到许多类似有趣的最值和定值.

2.问题情境

3.问题解答

仿照极坐标的思想，初始时，让△OAB的OA边与x轴的正半轴重合，当△OAB绕原点逆时针旋转时，记OA边与x轴正方向所成角度为x（0≤x≤π），如图1.（说明：为简化运算，基于椭圆的对称性，只探究半个椭圆的情形，下述结论在整个椭圆上依旧成立）.为便于求解，先表示出线段OA，OB的长.

若考虑整个椭圆的情形，结合椭圆对称性也较容易求出S取到另外两个最大值时x的值.

（2）∠OAB为钝角时，可类比上述锐角情形进行详细推理，这里仅给出结论，不再赘述.

（3）∠OAB为直角时.

除了上述探究的问题之外，还有很多值得探究的问题，例如sin∠OAB、弦长AB及△OAB周长的最值等，感兴趣的读者可以继续深入探究.将问题情境中的原点替换成椭圆的焦点、顶点，甚至类比到双曲线和抛物线，仍然有许多类似的美妙结论，定角截圆锥曲线最值问题还有广阔的探索空间.

［1］普通高中课程标准实验教科书选修4-4［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［2］孙承雄.对一道课本教材习题得探究与推广［J］.中学数学研究（江西师大），2019（10），27-28.