聚焦本质试题分析立足教材变式研究
王雪余小芬
概率问题作为高中数学统计与概率领域的核心内容，是高考考查的重点.2023年全国新高考Ⅰ卷理科第21题在数学知识交汇处命题，综合考查全概率公式、随机变量及其分布、数列通项、求和等主干知识，展现内容主线、突出学科本质、凸显数学思维，是一道立意新颖、构思巧妙、研究价值强的典型试题.下文对该试题进行立意、背景、解答及变式分析，以期给教师教学一些启发.
试题呈现甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（Ⅰ）求第2次投篮的人是乙的概率；
（Ⅱ）求第i次投篮的人是甲的概率；
1试题立意
试题是知识和能力的载体，它体现着考试的目的和内容.［1］从知识考查看，21题以马尔科夫链为背景，以全概率公式为核心，包含互斥事件、概率的加法和乘法公式、离散型随机变量及其分布列、数列递推公式求通项公式、数列求和等高中主干知识，涉及构造法、待定系数法、公式法、类比等重要数学方法，蕴含分类讨论、化归转化、整体等数学思想，体现了数学知识和方法的基础性和综合性.从能力考查看，21题考查数学建模（识别全概率模型、理解两点分布模型）、逻辑推理（理清事件间关系、用构造法及待定系数法求数列通项公式）、数学运算（利用全概率公式、等比数列通项、求和公式、随机变量均值公式计算求解）等数学核心素养.
2试题背景
试题背景指命题时试题选材的背景.研究试题背景能凸显试题立意、丰富试题研究、导向课堂教学.常见的试题背景有现实背景、教材背景、高考背景、高等数学背景、竞赛背景、数学史背景等.
2.1高等数学背景
21题蕴含高等数学中马尔科夫链背景.马尔可夫链是概率统计中一个重要模型，其数学定义为：设随机序列{X（n），n=0，1，2，…}具有离散状态空间E.若对于任意m个非负整数n1，n2，…，nm（0≤n1
2.2教材背景
教材是连接课程方案与教学实践的枢纽，是教师教和学生学的载体.［3］同时，教材也对高考试题的命制具有導向性，是高考试题命题选材的源泉．读完21题，给我们的感觉是似曾相似.确实题目含有教材例习题的影子.
一是源于2019年人教版普通高中数学教科书（下文简称“人教版教材”）选修三第7.1节例4（50页）：
某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.［4］
二是源于人教版教材选修三复习参考题7第10题（91页）：
甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率.［4］
以上三题均为全概率公式应用问题.其中例4和21题（1）问考查实质相同，只是将问题背景由“选择用餐餐厅”替换成了“选择投篮对象”，解答思路完全一致.10题同21题都考查利用全概率公式表达数列的递推关系，均涉及构造法、待定系数法求通项公式.
2.3高考背景
（2020年高考数学江苏卷第25题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（Ⅰ）求p1，q1和p2，q2；
（Ⅱ）求2pn+qn与2pn－1+qn－1的递推关系和Xn的数学期望E（Xn）（用n表示）．
25题同21题设问形式和解答思路高度一致：均是先求特殊情况的概率取值，再利用全概率公式表达n为一般情形的概率，都涉及数列递推公式求通项公式，最后求解随机变量数学期望.当然，两题也有细微区别：21题“第i－1次投篮的人是甲”与“第i－1次投篮的人是乙”两事件互斥且和为必然事件，是全概率公式中n=2的情形.而25题甲口袋中“恰有2个黑球”，“恰有1个黑球”互斥，但和不为必然事件，还需补充“恰有0个黑球”的情形，考查全概率公式n=3的情形.同时，21题（Ⅲ）问是两点分布模型求随机变量数学期望，而25题（Ⅱ）问随机变量Xn可取0，1，2三种情况，不是两点分布.全概率公式是高中新教材新增内容，是近年高考的重点和热点，除25题外，2019年全国Ⅰ卷理科第21题，2022年全国乙卷理科第10题等均涉及全概率公式的应用.
3试题解答
率.［5］21题“第i次由谁投篮”依赖于第i－1次投篮结果，于是将样本空间表示为“第i次投篮的人是甲”和“第i次投篮的人是乙”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
解析：（Ⅰ）设Ai